高考数学专题四第2讲知能演练轻松闯关训练题1．(2012·山西四校联考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)，∴AC＝(－a，a,0)，BE＝(－a，－a，λa)，∴AC·BE＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.(2)显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)， AC＝(－a，a,0)，AE＝(－a,0，λa)，∴，即，∴，令z＝1，则x＝y＝λ，∴m＝(λ，λ，1)， 二面角C－AE－D的大小为60°，∴cos〈n，m〉＝＝＝， λ∈(0,1]，∴λ＝.2．(2012·长春调研)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小；(3)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值．解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0,0,0)，C(－3，，0)．(1)证明：设PD＝a，则P(0,0，a)，BD＝(－1，－，0)，PC＝(－3，，－a)， BD·PC＝3－3＝0，∴BD⊥PC.(2)由(1)及PD⊥平面ABCD易知BD⊥平面PDC，则DB就是平面PDC的一个法向量．AB＝(0，，0)，DB＝(1，，0)．设AB与平面PDC所成的角的大小为θ，则sinθ＝＝＝. 0°<θ<90°，∴θ＝60°，即直线AB与平面PDC所成的角的大小为60°.(3)由题意知，AB＝(0，，0)，DP＝(0,0，a)，PA＝(1,0，－a)，PC＝(－3，，－a)，1 PE＝λPC，∴PE＝(－3λ，λ，－aλ)，DE＝DP＋PE＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)＝(－3λ，λ，a－aλ)．设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则，即.令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)． DE∥平面PAB，∴DE·n＝0，∴－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0， a≠0，∴λ＝.3.(2012·郑州质量预测)如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．解：(1)证明： 平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD， BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE. AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC， BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，∴CE＝(0，－2，0)，CB＝(2，－2，0)，CS＝(0，－2，1)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，得x＝，z＝2.∴平面SBC的一个法向量为n＝(，1,2)．设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sinθ＝||＝，∴直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.4．(2012·高考江西卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．解：(1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E.因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1.2因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.因为AB＝AC，OB＝OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C.又AO＝＝1，AA1＝，得AE＝＝.(2)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，－2,0)，A1(0,0,2)，B1(－1,2,2)，由AE＝AA1得点E的坐标是(，0，)，由(1)得平面BB1C1C的法向量是OE＝(，0，)，设平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)，由得令y＝1，得x＝2，z＝－1，即n＝(2,1，－1)，所以cos〈OE，n〉＝＝，即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.5.(2012·山西适应性考试)如图...
