课下能力提升(十九)平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．已知A(－1,1)，B(3，－5)，则线段AB的垂直平分线方程是()A．3x＋2y－2＝0B．2x＋3y＋2＝0C．3x－2y＋8＝0D．2x－3y－8＝02．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是()A.B.C.D．23．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B.C.D.4．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．15．若两条平行直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与l2的距离等于l1与l2间距离的直线方程为()A．3x－2y＋22＝0B．3x－2y－10＝0C．3x－2y－20＝0D．3x－2y＋24＝0二、填空题6．经过点P(2,1)且与点Q(1，－2)的距离为的直线方程是________．7．动点P在直线x＋y－1＝0上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为________．8．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是________．三、解答题9．用坐标法证明：在△ABC中，AO为BC边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．10．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．答案1．解析：选D∵kAB＝＝－，∴线段AB的垂直平分线的斜率为.又线段AB的中点坐标为(1，－2)，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－1)，即2x－3y－8＝0.2．解析：选D|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.3．解析：选D直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，与6x＋my＋1＝0平行，所以m＝4，由两平行线间的距离公式得d＝＝.4．解析：选A设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，由于△ABC的面积为2，则这个三角形AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故这样的点C有4个．5．解析：选A设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，则解得C＝－6(舍去)或C＝22，所以所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.6．解析：设所求直线的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.∵点Q到直线l的距离为，∴＝，解得k＝1或k＝－7.∴直线方程为x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.答案：x－y－1＝0或7x＋y－15＝07．解析：设P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝＝＝，当x＝时，|PQ|最小．答案：8．解析：由图可知，当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时d＝|PQ|＝＝，∴0＜d≤.答案：(0，]9．证明：如图，以O为坐标原点，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2，|AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)．又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．10．解：由解得即直线l过点B.①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0.由A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，∴l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0，综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
