（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第51课 直线与平面、平面与平面的垂直 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第51课直线与平面、平面与平面的垂直(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P47练习3改编)已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，那么直线l与平面α的位置关系为.【答案】平行或线在面内【解析】容易忽略线在面内的情况.2.(必修2P37习题6改编)如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB=90°，CA=CB，△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为.(第2题)【答案】6【解析】由题可知△ABC，△ACO，△BCO，△OAD，△OBD，△OCD是直角三角形.3.(必修2P37习题7改编)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于点E，AF⊥CD于点F，则BD与EF所成的角的大小为.(第3题)【答案】90°【解析】可证BD⊥平面AEF.4.(必修2P47练习5改编)如图，已知直线AB⊥α，垂足为B，AC是平面α的斜线，CDα，CD⊥AC，则图中互相垂直的平面有对.1(第4题)【答案】3【解析】平面ABC⊥α，平面ABD⊥α，平面ABC⊥平面ACD.1.直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足.2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.3.直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行.4.(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的平面角的大小范围：[0°，180°].(4)常用作二面角的平面角的方法：定义法、垂面法.5.两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直.6.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.7.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.2【要点导学】要点导学各个击破直线与平面的垂直关系例1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.(例1)(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥平面ABE.【思维引导】(1)要证CD⊥AE，可先证CD⊥平面PAC，要证CD⊥平面PAC，可先确定关系CD⊥PA与CD⊥AC；(2)要证PD⊥平面ABE，可证PD⊥AE与PD⊥AB.【解答】(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.3因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A，AB平面ABE，AE平面ABE，所以PD⊥平面ABE.【精要点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，应考虑线与线、线与面所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的方法有：①利用线面垂直的定义；②利用线面垂直的判定定理；③若a⊥α，a∥b，则b⊥α；④利用面面平行的性质定理，即α∥β，a⊥αa⊥β；⑤利用面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β.【高频考点·题组强化】1.(2015·南通期末改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，M是棱CC1上的一点.求证：BC⊥AM.(第1题)【解答】因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BC平面ABC，所以CC1⊥BC.因为AC⊥BC，CC1∩AC=C，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM.2.(2015·苏州期末改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面C1BD.4(第2题(1))【解答】如图(2)，连接AC，则AC⊥BD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD.(第2题(2))又因为AA1∩AC=A，所以BD⊥平面AA1C.因为A1C...