第42讲直线、平面垂直的判定及其性质[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(D)A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(D)A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．3．(2018·江西南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(D)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(D)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．5．(2018·宁夏银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(A)A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFH1C．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A．6．(2018·陕西宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中为真命题的是(D)A．①②B．②③C．②④D．①④解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．二、填空题7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为__②④__.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．8．(2018·吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB．解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；2②取AE的中点O，易证NO⊥AE，MO⊥AE.故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN，②正确；③ D∉平面ABC，∴N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC，∴MN与AB异面，③错误．9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点...
