课时跟踪训练(十)双曲线的简单性质1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D.3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．6．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过P(3，－)，离心率为；(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1MF�·2MF�＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．答案1．选C由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.12．选A双曲线标准方程为：y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－.由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.3．选B由方程组得a＝2，b＝2.∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.4．选B由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，所以e＝＝.5．解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，∴1<<2，解得－120，b>0)．∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①又过点P(3，－)有：－＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，双曲线方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．同理有：a2＝b2，③－＝1，④由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.(2)由椭圆方程＋＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，半焦距c1＝＝，所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设条件及双曲线的性质，有解得即双曲线方程为－y2＝1.8．解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，2kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴1MF�·2MF�＝0.法二：∵1MF�＝(－3－2，－m)，2MF�＝(2－3，－m)，∴1MF�·2MF�＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴1MF�·2MF�＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.3
