三点共线在解题中的应用路传诚一、三点共线研究交点坐标例1已知A（4，0）、B（4，4）、C（2，6），试求直线AC与直线OB（O为坐标原点）的交点P的坐标。解：设P（x,y），则。因P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上，即∥，∥解得。评注：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b。利用这一结论，避免了求直线的方程，使问题的解决简单明了。练习1：已知点M1（6，2）、M2（1，7），若直线y=4x－7与线段M1M2的交点为M，求M分所成的比及点M的坐标。答案提示：设、代入直线y=4x－7，得，此时M（3，5）。二、三点共线研究向量共线例2设不共线，点P在AB上，求证：、。解：由点P在AB上，得。可设。∴令、。评注：由点P在AB上，可知共线，得，然后用以O为起点的向量表示。练习2：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足、，则点C的轨迹方程为（）。A、B、C、D、答案提示：由条件易得点A、B、C共线，又直线AB的方程为，所以点C的轨迹方程为，应选D。三、三点共线研究定比分点问题例3已知△ABC所在平面内有一点O，使得，则△ABC与△OBC的面积比是（）。A、2：3B、1：6C、6：1D、7：1解：由题意得，则B、D、C三点共线。由，得。∴△ABC与△OBC的面积比是6：1，应选C。评注：巧妙利用B、D、C三点共线，再利用平面几何知识求得面积比。练习3：若PQ过△ABO的重心G，且。用心爱心专心答案提示：令。所以解得。四、三点共线研究参数的值例4设e1、e2是两个不共线的向量，如果，且A、B、D三点共线，求k的值。解：由题意，。由A、B、D共线，得∥。评注：将三点共线转化为向量共线，用共线向量结合平面向量基本定理来解决问题。其中由共线向量可建立向量之间的关系，根据平面向量定理中的唯一性可建立方程组。练习4：已知a（1，3）、b=（2，）的夹角角为锐角，求的取值范围。答案提示：两非零向量a、b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b，由为锐角，得。由得。又a、b共线时。由上知的取值范围是∪。用心爱心专心
