第1讲数列的概念与简单表示法[基础题组练]1．已知数列，，，，，…，则5是它的()A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：选C.数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝()A.B．C.D．解析：选A.因为数列{an}满足：对任意的m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A.3．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，则a2020的值为()A．－B．5C.D．解析：选A.在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2020＝a673×3＋1＝a1＝－.4．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n(n∈N+)，则a7＝()A.B．C.D．解析：选B.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，所以2(an－2)＝an－1－2，故{an－2}是首项为a1－2，公比为的等比数列，又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－＋2，故a7＝2－＝，故选B.5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N+，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝()A.B．2C.D．解析：选C.由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，则＝＝－，则＋＋…＋＝2×＝2×＝.故选C.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝答案：7．记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+，2Sn＝an＋1，则a2018＝________．解析：因为2Sn＝an＋1，1所以2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，即an＝－an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为周期的周期数列．又2S1＝2a1＝a1＋1，所以a1＝1，所以a2018＝a2＝－a1＝－1.答案：－18．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N+.故答案为n.答案：n9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…an－1＝an－2，an＝an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式an＝.10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N+.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N+，求a的取值范围．解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N+.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N+，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9.又a2＝a1＋3＞a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．2[综合题组练]1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为()A．4B．4－1C．8D．9解析：选C.由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，当n＝1时，a1＝20符合上式，所以＝n＋－1，n∈N*，所以n≤4时递减，n≥5时递增，因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C.2．若数列{...
