课时分层作业(二十)空间线面关系的判定(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，ν＝，则α与β的位置关系是________．[解析] u＝－3ν，∴u∥ν，∴α∥β.[答案]平行2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．[解析] α⊥β，∴－x－2－8＝0，∴x＝－10.[答案]－103．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________．[解析] B1C＝B1C1＋B1B＝B1O＋OC1＋D1O＋OD＝OC1＋OD，∴B1C，OC1，OD共面．又 B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.[答案]平行4．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________.【导学号：71392199】[解析] AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，∴AB与CD，CE共面，∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.[答案]AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE5．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．[解析]AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4.BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.[答案]6．如图3213，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________(填“垂直”或“平行”)．图3213[解析]因为DP·C1B＝(DA1＋A1P)·C1B＝(CB1＋A1P)·C1B＝CB1·C1B＋A1P·C1B＝A1P·C1B＝A1P·(C1C＋CB)＝A1P·C1C＋A1P·CB＝0，所以DP⊥C1B，即DP与BC1始终垂直．[答案]垂直7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________三角形．[解析]求得AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，因为AC·BC＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．[答案]直角18．如图3214所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．图3214[解析]以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.[答案]垂直二、解答题9．已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．图3215(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.[解](1)证明：因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)．由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以BM＝(－2，0,1)，DC＝2(0,2,0)，因为DC⊥平面PAD，所以DC是平面PAD的法向量，又因为BM·DC＝0，且BM⊄平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则MN＝(x，－1，z－1)，DP＝(0,0,2)，DB＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，则即所以在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.10．如图3216所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：图3216(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.【导学号：71392200】[证明]以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°. PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2，3,0)，CM＝，(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即∴令y＝2，得n＝(－，2,1)． n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥CM，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二： PD＝(0,1，－2)，PA＝(2，4，－2)，令CM＝xPD＋yPA，则方程组有解为∴CM＝－PD＋PA，由共面向量定理知CM与PD，PA共面．又 CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，3BE＝(－，2,1)， PB＝AB，∴BE⊥PA.又 BE·DA＝(－，2,1)·(2，3...
