【与名师对话】2016版高考数学一轮复习5.1数列的概念与简单表示方法课时跟踪训练文一、选择题1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的()A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项解析：由3＝＝，可知3是该数列的第23项．答案：B2．(2014·南昌高三第二次联考)“λ<1”是“数列an＝n2－2λn为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－(n2－2λn)＝2(n－λ)＋1，若λ<1，则2(n－λ)＋1>0恒成立，数列{an}为递增数列，若2(n－λ)＋1>0，则λ<即λ<，∴选A.答案：A3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8解析：由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.答案：B4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝，则a20等于()A．0B．－C.D.解析：a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，…，数列以3为周期循环，故a20＝a2＋3×6＝a2＝－.故选B.答案：B5．已知数列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，则数列的最小项是()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项解析：根据an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，故a1＝98，由于an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n－1)＝98＋2n(n－1)，所以＝＋2n－2≥2－2＝26，当且仅当＝2n，即n＝7时等号成立．答案：B6．(2014·吉林长春三校调研)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．638B．639C．640D．641解析：由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C.答案：C二、填空题7．已知数列{an}满足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝__________.解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：88．(2015·邯郸质检)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，对于任意的正整数n都有an·an＋1≠1，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，则S100＝________.1解析：由anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2求得a3＝3，a4＝1，a5＝2，a6＝3，∴S100＝(1＋2＋3)×33＋1＝199.答案：1999．(2014·淄博阶段性检测)如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．13356571111791822189…解析：设第n行第2个数为an(n≥3)则an＝an－1＋2n－3，an－an－1＝2n－3，累加法得an－a2＝3＋5＋…＋2n－3＝，an－a2＝n2－2n，又a2＝3，∴an＝n2－2n＋3.答案：n2－2n＋3三、解答题10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．故数列从第7项起各项都是正数．11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；(2)求n为何值时an最小．解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.∴bn＋1－bn＝2n－6.当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，…b3－b2＝2×2－6，b2－b1＝2×1－6，累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6.又b1＝a2－a1＝－14，∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，n＝1时，b1也适合此式，2故bn＝n2－7n－8.(2)由bn＝(n－8)(n＋1)得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，∴当n<8时，an＋1
8时，an＋1>an.∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．12．(2015·黄冈高三期末)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn且Sn＋1＝Sn＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求满足不等式Tn<的n值．解：(1)由Sn＋1＝Sn＋1，知当n≥2时Sn＝Sn－1＋1，∴Sn＋1－Sn＝(Sn－Sn－1)，即an＋1＝an，∴＝，a1＝1，得S2＝a1＋1＝a1＋a2，∴a2＝，∴＝.∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．∴an＝n－1.(2)∵数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴Tn＝＝3.又∵Sn＝2×n－2，∴化简不等式Tn<得n>，∴n＝1或n＝2.3
