问题2疑难点与球体有关的组合体问题一、问题的提出有球体有关的组合体问题是每年必考的内容，几何体的内切球，外接球问题都是高考中的热点，也是难点，在学习中必须对重、难点进行突破.二、问题的探源1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.三、问题的佐证【典型例题】在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.考向1球的内接正方体问题【例1】已知正方体棱长为，则正方体外接球的体积为__________．【答案】【解析】设外接球半径为，，．．考向2球内切于正方体问题【例2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.B.C.D.【答案】A考向3球的内接正四面体问题【例3】正四面体的棱长为，其外接的体积与内切球的体积之比是__________．【答案】27【解析】正四面体的棱长为，其外接球的半径为，其内切球的半径为所以,故填27.考向4．球的内接圆锥问题【例4】球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.答案：考向5．球的内接直棱柱问题【例5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2四、问题的解决与球体有关的切、接问题要注意，一般要过球心并计算半径即可得出球体的表面积和体积。1．三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P-ABC的外接球的直径，如图所示; ∴又平面∴∴，即∴,故选D.2.,底面为等边三角形，且,求三棱锥外接球的表面积______________.【答案】【解析】取的中点，连接，取的三等分点为，使得，则为等边三角形的中心，由于，且平面平面，，则平面平面，由于，为直角三角形，为的外心，则，又，为三棱锥外接球的球心，球的半径，三棱锥外接球的表面积为.3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为________.【答案】4．刘徽（约公元225年—295年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.”其实这里所谓的“鳖臑（biēnào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.如图，在三棱锥中，垂直于平面，垂直于，且，则三棱锥的外接球的球面面积为__________.【答案】【解析】由条件知道垂直于平面，垂直于，故AB垂直于，从而得到垂直于面ABC，故三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，则外接球球心在AD的中点上，记作O点，表面积是故结果为：5．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是()A．[0,2]B．[0,3]C．[0,4]D．[－2,2]【答案】C【方法结...
