课时跟踪检测（十八）平面向量基本定理一、基本能力达标1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析：选C选项C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，可见e1－2e2和4e2－2e1是共线向量，不能作为一组基底．故选C.2.如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则＝()A.－B.＋C.＋D.－解析：选C由平面向量的三角形法则，可得：＝＋，又点D是BC边上靠近B的三等分点，所以＝＋＝＋(－)＝＋.3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2解析：选A由平面向量基本定理得∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.5．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则＋＋等于()A．6B．－6C．－6D．0解析：选D令GB的中点为P，连接DP，PE，得平行四边形GDPE(如图所示)，取向量，为一组基底，则有＝2＝2(＋)，＝－2，＝－2.上面三式左右两边分别相加，有＋＋＝0.6.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设MA＝a，MB＝b，则MC＝________(用a，b表示)．解析：MC＝MA＋AC＝MA＋AB＝MA＋(MB－MA)＝MA＋MB＝a＋b.答案：a＋b7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4.答案：λ≠48．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝x，＝y，其中x，y∈R，且均不为0，若∥，则＝________.解析：＝－＝y－x，由∥得＝λ(λ≠0)，∴y－x＝λ(－)＝λ，∴∴＝.答案：9.如图，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用向量a，b表示.解：由题意得＝＋，＝＋.设＝m，＝n，则＝＋m＝＋m(－)＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝＋n(－)＝b＋n＝na＋(1－n)b. a，b不共线，∴解得∴OP―→＝a＋b.10.如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足＝＋，求△ABM与△ABC的面积之比．解： ＝＋，∴＝(－)＋(－)，∴＋＝0，∴＝3，∴＝＝.二、综合能力提升1．已知，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p解析：选Ar＝＝＋＝－3＝－3(－)＝p－3q＋3r，所以2r＝3q－p，r＝－p＋q，选A.2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7AE＝5AB，AD＝4AF，EF交AC于点K，AK＝λOA，则实数λ的值为()A．－B．－C.D.3.如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足AB＝3AE，BC＝3CF，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝()A.B.C.D．1解析：选B由题意＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ＝＋.又 ＝＋，∴两式相加，得λ＋μ＝.故选B.4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内部且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则等于()A．3B.C.D.解析：选A由题意得△OAB是直角三角形，且OA＝1，OB＝，OA⊥OB，∴AB＝2，∠A＝60°.如图所示，延长OC交AB于D，设＝λ,0＜λ＜1.在△AOD中，∠A＝60°，∠AOD＝30°，∴∠ADO＝90°，又OA＝1，∴AD＝，则＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝λ＝＋，∴m＝，n＝，∴＝3.5．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)， a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. e1与e2不共线，∴∴m＝，n＝－，∴e1＋e2＝a－b.答案：a－b6．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．解析：设＝k(0＜k＜1)，则＝－＝k－＝(kλ－1)＋kμ. D是OC与AB的交点，∴A，D，B三点共线，∴，共线，设＝m，又＝－，∴(...
