高中数学 课时分层作业15 曲线的交点 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

课时分层作业(十五)曲线的交点(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．曲线x2＋y2＝9与曲线x2＝8y的交点坐标是________．[解析]由得y2＋8y－9＝0，解得y＝1或y＝－9. y≥0，∴y＝1，代入x2＝8y，∴x2＝8，x＝±2，∴交点坐标为(±2，1)．[答案](±2，1)2．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________.[解析]由直线AB过焦点且垂直于对称轴知，AB为通径，所以AB＝2p＝4.[答案]43．直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，AB中点坐标为(3,2)，则直线l的方程是________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.[答案]x－y－1＝04．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________.【导学号：71392141】[解析]由题意，得解得所以椭圆C的方程为＋＝1.[答案]＋＝15．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有__________条．[解析]设该抛物线焦点为F，则AB＝AF＋FB＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．[答案]26．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．[解析]由消去y，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1.[答案](1，＋∞)7．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若AB＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．[解析]直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.[答案]8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A，B两点，若AB＝5，则实数b等于________.【导学号：71392142】[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.① x1，x2是关于x的方程①的两根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.又AB＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±2.故所求b的值为±2.[答案]±2二、解答题9．如图268,斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．图268[解]设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以AB＝|x1－x2|＝·＝×＝.10．直线l：y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1有两个不同的交点，(1)求a的取值范围；(2)设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l的方程；若不存在，则说明理由.【导学号：71392143】[解](1)由方程组可得(3－a2)x2－2ax－2＝0，由方程有两实数根，则解得－＜a＜且a≠±，故所求a的取值范围是(－，－)∪(－，)∪(，)．(2)设交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，x1＋x2＝，x1x2＝，由题意可得，OA⊥OB(O是坐标原点),则有x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，∴(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，于是可得(a2＋1)＋a·＋1＝0，解得a＝±1，且满足(1)的条件，所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.[能力提升练]1．过点P(4,1)的直线l与椭圆＋＝1有且只有一个公共点，则直线l的方程为________．[解析]若直线l不存在斜率，则方程为x＝4；把x＝4带入轨迹方程可得y＝±1，即直线l和椭圆有两个公共点，不合题意．∴设直线l的斜率为k，则方程为y＝kx－4k＋1，带入轨迹方程并整理得(1＋2k2)x2＋4k(1－4k)x＋16(2k2－k－1)＝0. 直线l与椭圆只有一个公共点，∴Δ＝16k2(1－4k)2－64(1＋2k2)(2k2－k－1)＝0，解得k＝－2，∴直线l的方程为y＝－2x＋9.[答案]y＝－2x＋92．双曲线x2－4y2＝λ(λ≠0)截直线x－y－3＝0所得弦长为，则双曲线方程为________．[解析]联立方程消去y得3x2－24x＋(36＋λ)＝0，设直线被双曲线截得的弦为AB，...