课时分层作业(九)充要条件(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝3时，A＝{1,3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3.故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0D[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A二、填空题6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．充要[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]7．若p：x－3<0是q：2x－30，∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)， 方程有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[等级过关练]1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件B[由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈CD/⇒x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知2△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max，，·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝max·min＝1×1＝1.∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件． a≤b≤c，∴max＝.又 l＝1，∴min＝，即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．∴“...
