课时分层作业(四十四)正切函数的性质与图象(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数y＝|x|tan2x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数A[易知2x≠kπ＋，即x≠＋，k∈Z，定义域关于原点对称．又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan2x，∴y＝|x|tan2x是奇函数．]2．下列各式中正确的是()A．tan735°＞tan800°B．tan1＞－tan2C．tan＜tanD．tan＜tanD[对于A，tan735°＝tan15°，tan800°＝tan80°，tan15°＜tan80°，所以tan735°＜tan800°；对于B，－tan2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜，所以tan1＜－tan2；对于C，＜＜＜π，tan＜tan；对于D，tan＝tan＜tan.]3．函数y＝tan(cosx)的值域是()A.B.C．[－tan1，tan1]D．以上都不对C[cosx∈[－1,1]，y＝tanx在[－1,1]上是增函数，所以y＝tan(cosx)的值域是[－tan1，tan1]．]4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是()A．x＝B．x＝－C．x＝D．x＝D[当x＝时，y＝tan＝tan＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan＝－1；当x＝时，y＝tan不存在．]5．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是()A．5B．4C．3D．2B[由tan＝，得2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，又x∈[0,2π)，所以x＝0，，π，，故选B.]二、填空题6．函数y＝＋的定义域为________．[由题意得，所以2kπ－＜x≤2kπ，k∈Z，所以函数y＝＋的定义域为.]7．函数y＝|tanx|，y＝tanx，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致图象依次是________(填序号)．①②④③[∵|tanx|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tanx|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tanx关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tanx对应②，故四个图象依次是①②④③.]8．f(x)＝asinx＋btanx＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.－5[∵f(5)＝asin5＋btan5＋1＝7，∴asin5＋btan5＝6，∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin5＋btan5)＋1＝－6＋1＝－5.]三、解答题9．已知函数f(x)＝3tan.(1)求它的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与f的大小．[解](1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，所以T＝＝＝4π.由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3tan在4kπ－，4kπ＋(k∈Z)上单调递减．故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f＝3tan＝3tan＝－3tan，因为＜，且y＝tanx在上单调递增，所以tan＜tan，所以f(π)＞f.10．已知函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．[解]因为1＜T＜，所以1＜＜，即＜k＜π.因为k∈N*，所以k＝3，则f(x)＝2tan，由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z.所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.[等级过关练]1．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是()ABCDD[当＜x＜π，tanx＜sinx，y＝2tanx＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tanx＞sinx，y＝2sinx．故选D.]2．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是()A．1B．2C．4D．8C[由题意可得f(x)的周期为，则＝，∴ω＝4.]3．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域为________．[－4,4][∵－≤x≤，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]．∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．]4．若f(n)＝tan，(n∈N*)则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.0[因为f(n)＝tann的周期T＝＝3，且f(1)＝tan＝，f(2)＝tan＝－，f(3)＝tanπ＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝×0＝0.]5．已知函数f(x)＝tan(1)求f(x)的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．[解](1)由x＋≠kπ＋，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意；得tan＝2cos，所以＝2sin，整理得sin＝0，所以sin＝0或cos＝.因为β∈(0，π)，所以β＋∈，由sin＝0得β＋＝π，β＝，由cos＝得β＋＝，β＝，所以β＝或β＝.
