7.1数列考点一数列的有关概念及通项公式1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5=()A.B.C.D.2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项3.数列,-,,-,…的一个通项公式为()A.an=(-1)n·B.an=(-1)n·C.an=(-1)n+1·D.an=(-1)n+1·4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于()A.B.C.D.5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnn1C.2+nlnnD.1+n+lnn【解析】1.选D.因为an=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=,所以==2,则++…+=2=2=.5.选A.因为an+1=an+ln,所以an-an-1=ln=ln(n≥2),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+ln+…+ln+ln2+22=2+ln=2+lnn(n≥2).又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N*).将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式不可能是()A.an=(-1)n-1+1B.an=C.an=2sinD.an=cos(n-1)π+1【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不合题意.1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③各项的符号特征和绝对值特征;④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.2.递推公式推导通项公式的方法(1)累加法:an+1-an=f(n).(2)累乘法:=f(n).3(3)待定系数法:an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.【秒杀绝招】1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.考点二an与Sn的关系及其应用【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an=()A.2nB.2n-1C.2nD.2n-12.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an.【解题导思】序号联想解题1(1)看到an与Sn的关系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为an与an-1的关系(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除2(1)利用an+1=Sn+1-Sn转化为Sn+1与Sn的关系(2)求得Sn,代入an=Sn-Sn-1(n≥2)得an,并检验n=1是否成立【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n.【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.4当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,故an=【答题模板微课】本例题2的模板化过程:建模板:当n=1时,a1=S1=-1,…………求首项当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,…………作差求通项经检验a1=-1不适合an=,…………检验故an=…………结论套模板:已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________.【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4,…………求首项当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,…………作差求通项经检验a1=4不适合an=2n+1,…………检验故an=…………结论答案:1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.52.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的...
