第五节指数与指数函数[考纲传真]1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．1．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(－1)＝(－1)＝.()(2)函数y＝2x－1是指数函数．()(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.()(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×12．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9B[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是()ABCDC[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”).【导学号：66482052】＞[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.【导学号：66482053】(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的运算化简求值：(1)0＋2－2·－－(0.01)0.5；(2).[解](1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.6分(2)原式＝＝a－－－·b＋－＝.12分[规律方法]1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[变式训练1]化简求值：(1)(0.027)－－－2＋－(－1)0；(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).[解](1)原式＝－－72＋－12＝－49＋－1＝－45.6分(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.12分指数函数的图像及应用(1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是()(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．(1)A[将函数解析式与图像对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．](2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分则b的取值范围是(0,1).12分[规律方法]指数函数图像的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.图251[变式训练2](1)函数f(x)＝ax－b的图像如图251，其中a，b为常数，则下列结论正确3的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图像是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]指数函数的性质及应用☞角度1比较指数式的大小(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则()【导学号：66482054】A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a...
