课时分层作业(四十七)数学建模活动(一)(建议用时：40分钟)1．A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．[解](1)x的取值范围为[10，90]；(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)；(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000＝＋.则当x＝km时，y最小．故当核电站建在距A城km时，才能使供电费用最小．2．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？[解]根据题意可列方程组解得所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．3．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N).前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．[解]当1≤t≤40，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝＝－t2＋2t＋＝－(t－12)2＋，所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝.当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝＝t2－36t＋＝(t－108)2－，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.所以，S(t)的最大值为，最小值为8.4．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止，供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W(吨)与时间t(小时，且规定早上6时t＝0)的函数关系为W＝100.水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选为第几级时，既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出？[解]设进水量选为第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16.由题意得0＜y≤300，所以0＜100＋10xt－10t－100≤300.当t＝0时，结论成立．当t＞0时，由不等式100＋10xt－10t－100＞0可得x＞1＋10.令f(t)＝1＋10，则f(t)＝－10＋3.5，由于0≤t≤16，所以当t＝4时，f(t)取最大值3.5.故x＞3.5.又由100＋10xt－10t－100≤300可得x≤1＋＋.令g(t)＝1＋＋，由于0＜t≤16，所以当t＝16时，g(t)取最小值4.75，故3.5＜x≤4.75，由于x∈N*，所以x＝4.即进水量选为第4级时，既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出．
