课下能力提升(二十一)平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.2．已知向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为()A．－B.C.D．23．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝()A.B.C．5D．254．已知＝(4,2)，＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于()A．1B．6C．1或6D．1或2或6二、填空题5．(安徽高考)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．6．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________．7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________．8．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．三、解答题9．已知向量a是以点A(3，－1)为始点，且与向量b＝(－3，4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．10．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ.答案1．解析：选C因为2a＋b＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(0，3)，所以|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.2．解析：选A∵a＋xb＝(3，4)＋x(2，－1)＝(3＋2x，4－x)，－b＝(－2，1)，且(a＋xb)⊥(－b)，∴－2(3＋2x)＋(4－x)＝0，得x＝－.3．解析：选C法一：设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋y＝10①，又a＋b＝(x＋2，y＋1)，|a＋b|＝5，∴(x＋2)2＋(y＋1)2＝50②①与②联立得或∴|b|＝＝5.法二：由|a＋b|＝5得a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋20＋b2＝50∴b2＝25|b|＝5.4．解析：选C当A＝90°时，⊥，则4k－4＝0，k＝1；当B＝90°时，⊥，又＝－＝(k－4，－4)∴4(k－4)＋2×(－4)＝0解得k＝6；当C＝90°时，⊥，则k(k－4)＋(－2)×(－4)＝0即k2－4k＋8＝0，无解．故k＝1或6.5．解析：由题意知，a＋c＝(3，3m)，(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，即a＝(1，－1)，|a|＝＝.答案：6．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：27．解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.答案：27．解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)．又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②解①②得x＝－，y＝－.答案：8．解析：由条件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，从而⇒λ∈∪(0，＋∞)．答案：∪(0，＋∞)9．解：∵b是直线y＝－x的方向向量，且a⊥b.∴a是直线y＝x的方向向量．∴可设a＝λ(1，)＝(λ，)．由|a|＝1，得λ2＋λ2＝1.解得λ＝±，∴a＝(，)或a＝(－，－)．设a的终点坐标为(x，y)则或即或∴a的终点坐标是(，－)或(，－)．10．∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②由①②解得x＝，y＝，故D点坐标为(，)，
