微专题2不等式恒成立及有解问题专题1与一元二次不等式有关的恒成立问题1.如果不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是。答案：(1,3)解析： 4x2+6x+3=(2x+32)2+34>0,∴原不等式⇔2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,解得1
0的解集为(-∞,+∞)。求实数a的取值范围。答案：解:关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则Δ=a2-4(-a)<0,解得-40恒成立,求实数a的取值范围。答案：解:若对任意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,则必有{a>0,Δ=a2-4a<0或a=0,所以0≤a<4。4.(2019·沈阳二中高二月考)为使关于x的不等式(2-a)x2-2(a-2)x+4>0对一切实数x都成立,求实数a的取值范围。答案：解:当2-a=0时,不等式化为4>0,恒成立,所以a=2;当2-a≠0时,关于x的不等式(2-a)x2-2(a-2)x+4>0对一切实数x都成立,则{2-a>0,4(a-2)2-4×4(2-a)<0,解得-20,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<6(x-12)2+34。 函数y=6(x-12)2+34在[1,3]上的最小值为67,∴只需m<67即可。综上所述,m的取值范围是(-∞,67)。专题2均值不等式有关的恒成立问题6.(2019·北京工大附中高二月考)已知两个正实数x,y满足2x+1y=1,且恒有x+2y>m,则实数m的取值范围是。答案：(-∞,8)解析： x>0,y>0,2x+1y=1,∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+2+4yx+xy≥4+2❑√4yx·xy=8,(当且仅当x=4,y=2时,取等号)。x+2y>m恒成立等价于8>m,故答案为(-∞,8)。7.(2019·大连第二十四中学高二月考)已知a,b∈R*,a+b=1,若4a+1b≥k恒成立,求k的最大值。答案：解:已知a,b∈R*,且a+b=1,则4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab≥5+2❑√4=9,当且仅当4ba=ab时等号成立,又4a+1b≥k恒成立,∴k≤9,即k的最大值为9。8.(2019·德州第一中学高二月考)若实数x,y满足xy=1,则2x2+y2≥a恒成立,求a的最大值。答案：解: xy=1,∴2x2+y2≥2❑√2x2y2=2❑√2(当且仅当❑√2x=y时,取等号),∴a≤2❑√2,故a的最大值为2❑√2。9.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值。答案：解:右边是常数,只需满足左边的最小值≥9即可,(x+y)·(1x+ay)=1+a+yx+axy≥1+a+2❑√a=(❑√a+1)2,∴(❑√a+1)2≥9⇒❑√a≥2⇒a≥4,故a的最小值为4。10.(2019·丹东四中高二段考)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,求实数m的取值范围。答案：解: x>0,y>0,且2x+1y=1,∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2❑√4yx·xy=8。当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号,又2x+1y=1,∴x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m,即8>m2+2m,解得-40即可,解得a>-1。故实数a的取值范围为(-1,+∞)。12.(2019·山东潍坊一中高二期中)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且存在这样的x,y使不等式x+y40,y>0,且1x+4y=1,∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=4xy+y4x+2≥2❑√4xy·y4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取“=”,∴(x+y4)min=4,故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,∴实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞)。13.(2019·辽宁沈阳一中高二月考)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,求实数a的取值范围。答案：解:关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则x2-ax-a+3≤0在(-∞,+∞)上有解,∴Δ=a2-4(-a+3...
