课时素养评价二十二函数奇偶性的概念(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是()A.0B.-1C.1D.2【解析】选A.函数f(x)=x3+2x的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=-x3-2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,则f(a)+f(-a)=0.2.(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=-xB.y=-x2C.y=D.y=-x|x|【解析】选A、D.A项,函数y=-x是奇函数又是减函数;B项,y=-x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=是奇函数,但是y=在(-∞,0)或(0,+∞)上单调递减,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=-x|x|可化为y=其图象如图:故y=-x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.3.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-2,则f(6)+f(-3)的值为()A.10B.-10C.9D.15【解析】选A.根据题意,得f(6)=8,f(3)=-2,又由函数f(x)为奇函数,则f(-3)=-f(3)=2,则f(6)+f(-3)=10.4.若函数f(x)=为奇函数,则a=()A.B.C.D.1【解题指南】利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1),列出方程求出a.【解析】选A.因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),所以=-,所以1+a=3(1-a),解得a=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)·g(x)是偶函数,写出满足条件的一组函数,f(x)=________;g(x)=________.【解析】f(x)=x+1,g(x)=x-1,则f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)·g(x)=x2-1是偶函数.答案:x+1x-1(答案不唯一)【加练·固】已知函数f(x)=ax3+bx+2,且f(π)=1,则f(-π)=________.【解析】根据题意,设g(x)=f(x)-2=ax3+bx,则g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)=-g(x),则g(x)为奇函数,则g(π)+g(-π)=[f(π)-2]+[f(-π)-2]=0,则有f(-π)=3.答案:36.已知y=f(x)是偶函数,且f(x)=g(x)-2x,g(3)=3,则g(-3)=________.【解析】因为y=f(x)是偶函数,且f(x)=g(x)-2x,所以f(-3)=g(-3)+6,f(3)=g(3)-6,又f(-3)=f(3),g(3)=3,则g(-3)=-9.答案:-9三、解答题7.(16分)已知函数f(x)=mx+,且f(1)=3.(1)求m的值.(2)判断函数f(x)的奇偶性.【解析】(1)由题意知,f(1)=m+1=3,所以m=2.(2)由(1)知,f(x)=2x+,此函数的定义域为{x|x≠0}.因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}且f(-x)=2(-x)+=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(15分钟·30分)1.(4分)已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R,总有f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)=()A.-1B.-3C.3D.1【解析】选B.根据题意,函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x),则有f(-1)=-f(1),即f(-1)+f(1)=0,则有g(-1)+|-1|+g(1)+|1|=0,又由g(-1)=1,则g(1)=-3.2.(4分)函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数,且其定义域为[3a-4,a],则f(a)=()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为奇函数的定义域为[3a-4,a],所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,则f(x)=x3+2bx+1-b,又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1,即f(x)=x3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3.3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-c,则f(-2)=________.【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=2x-c,所以f(0)=1-c=0,所以c=1,又由当x≥0时,f(x)=2x-1,所以f(2)=3,又由函数为奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.答案:-34.(4分)若函数f(x)=是奇函数,则实数m=________.【解析】f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,所以-x-2m+1=-x+2m-1,所以-2m+1=2m-1,所以m=.答案:5.(14分)已知函数f(x)=为偶函数.(1)求实数a的值.(2)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.【解析】(1)根据题意,函数f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x),即=,解得a=-1.(2)由(1)的结论,f(x)===1-,当x>0时,f(x)为增函数,则有即m,n是方程2-3x=1-x2的两个根,又由<,则m>n,则m=,n=.【加练·固】(2019·和平区高一检测)已知f(x)=为奇函数.(1)求f(-3)的值.(2)求实数a的值.【解析】(1)根据题意,f(x)=,则f(3)=0,又由函数f(x)为奇函数,则f(-3)=-f(3)=0.(2)由(1)的结论,f(-3)==0,解得a=3.
