课时分层作业(九)基本不等式的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．4C[当x>2时，x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，选C.]2．设x、y为正数，则的最小值为()A．6B．9C．12D．15B[＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当y＝2x时，等号成立．]3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是()A．6B．7C．8D．9D[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，∴xy≤，在x＝y＝时取等号．∴＝＝＋1≥＋1＝9.故选D.]4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元C[设底面相邻两边的边长分别为xm，ym，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).故该容器的最低总造价是160元．]5．当x＞2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，4]C．[0，＋∞)D．[2，4]B[∵x＋≥a恒成立，∴a必须小于或等于x＋的最小值．∵x＞2，∴x－2＞0.∴x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x＝3时取最小值4.故选择B.]二、填空题6．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．3[由已知，得y＝，所以＝＝(＋＋6)≥(2＋6)＝3.当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.]7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．2＋4[＝＝＋＋4≥2＋4.当且仅当x＝y时等号成立．]8．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．4[∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号．故的最小值为4.]三、解答题9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解]设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－＝118－＝118－＝130－≤130－2＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．10．当x>3时，求函数y＝的最小值．[解]∵x>3，∴x－3>0.又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．所以，y＝的最小值为24.11．若x，y，z均为正实数，则的最大值是()A．B．C．2D．2A[＝≤＝，当且仅当x＝z＝y时，等号成立．]12．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则的最大值为()A．9B．16C．25D．36C[≤＝＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．]13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2C[(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝时，等号成立，所以()2＋2＋1≥9，∴≥2，则a≥4.∴a的最小值为4.]14．设a＞b＞c，n∈N＋，试求使不等式＋≥成立的n的最大值为________．4[∵a－c＞0，要使原不等式成立，只需＋≥n成立．即＋≥n成立．也就是2＋＋≥n成立．又＋≥2，∴n≤4，∴n有最大值为4.]15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解](1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，∴≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．∴x＋y的最小值为18.
