高考数学 玩转压轴题 专题1.4 极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题1.4极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,xx的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.已知函数xaexxf)(有两个不同的零点12,xx，求证：221xx.不妨设12xx，记12txx，则0,1tte，因此只要证明：121ttete01)1(2tteet，再次换元令xtxetln,1，即证),1(,01)1(2lnxxxx构造新函数2(1)()ln1xFxxx，0)1(F求导2'2214(1)()0(1)(1)xFxxxxx，得)(xF在),1(上递增，1所以0)(xF，因此原不等式122xx获证.★例2.已知函数()lnfxxax，a为常数，若函数()fx有两个零点12,xx，证明：212.xxe法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数：不妨设12xx， 1122ln0,ln0xaxxax，∴12121212lnln(),lnln()xxaxxxxaxx，∴1212lnlnxxaxx，欲证明212xxe，即证12lnln2xx. 1212lnln()xxaxx，∴即证122axx，∴原命题等价于证明121212lnln2xxxxxx，即证：1122122()lnxxxxxx，令12,(1)xttx，构造2(1)ln,1)1(ttgttt，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：12221211lnlnln,lnxxxxaxxxx设2121,,(1)xxxttx，2则112111lnlnln,lnlntxtxxtxttxx，反解出：1211lnlnlnln,lnlnlnlnln111ttttxxtxtxtttt，故212121lnln2ln21txxexxtt，转化成法二，下同，略.★例3.已知21,xx是函数axexfx)(的两个零点，且21xx.（1）求证：221xx；（2）求证：121xx.(2)要证：121xx，即证：1221aeexx，等价于212)(1221xxeeeexxxx，也即2122)(1)(1221xxeeeexxxx，等价于2122)(1)1(1212xxeexxxx，令012xxt3等价于)0(1)1(22tteett，也等价于)0(112tteett，等价于即证：012tteet令)0(1)(2teetthtt，则)21(21)(2222ttttteteeeteth，又令)0(21)(2tettt，得0221)(2tett，∴)(t在),0(单调递减，0)0()(t，从而0)(th，)(th在),0(单调递减，∴0)0()(hth，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于21,xx的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.已知函数()(0)axfxxea，若存在1212,()xxxx，使12()()0fxfx，求证：12xaex.4再证：12xaex. 111222lnxaxaxxaxx，而120xex，2ln1x∴1122ln1xaxaeaexx.证毕.【招式演练】★设函数()()xfxeaxaaR的图像与x轴交于1212(,0),(,0)()AxBxxx两点，（1）证明：0)('21xxf；5（2）求证：1212xxxx.（2）证明：由1212(1)(1)xxeaxeax，易知211xx且ae，从而11221211xxxxxeeex，令121,1xx，则lnln1e，由于12121xxxx，下面只要证明：11,(01)，结合对数函数lnyx的图像可知，只需证：11(,ln),(,ln)两点连线的斜率要比(,ln),(,ln)两点连线的斜率小即可，又因为lnln1k，即证：1lnln112ln0(01)1，6令1()2ln0,(01)g，则22212(1)()10g，∴()g在(0,1)上单调递减，∴()(1)0gg，∴原不等式1212xxxx成立.★设函数2()lnfxaxbx，其图像在点(2,(2))Pf处切线的斜率为3.当2a时，令()()gxfxkx，设1212,()xxxx是方程()0gx的两个根，0x是12,xx的等差中项，求证：0()0gx(()gx为函数()gx的导函数）.★设函数21()2ln(0)fxaxaaxax，函数()fx为()fx的导函数，且71122(,()),(,())AxfxBxfx是()fx的图像上不同的两点，满足12()()0...