第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、选择题1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析：选B．侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B．2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．球D．四棱柱解析：选B．由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B．3．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选D．根据几何体的结构特征进行分析即可．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()1解析：选D．A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析：选C．由正视图和侧视图及体积易得几何体是四棱锥PABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，此时VPABCD＝×22×2＝，则俯视图为Rt△PAB，故选C．6．(2018·兰州适应性考试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A．1B．C．D．2解析：选D．正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以的最大值为＝2，故选D．2二、填空题7．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．解析：直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝．故原平面图形的面积S＝＝2＋．答案：2＋8．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为________cm．解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝＝13(cm)．答案：139．已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2．因为一条侧棱长为2，所以VO＝＝＝6．所以正四棱锥VABCD的高为6．答案：610．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是________．解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长且DC＝AF＝＝3．3答案：3三、解答题11．如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2．俯视图(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6(cm)．由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝＝＝6(cm)．12．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．4(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．5
