高中数学不等式证明中的数学思想 学法指导VIP免费

高中数学不等式证明中的数学思想学法指导秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。解决不等式证明问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。下面介绍数学思想在不等式证明中的应用，供大家参考。一、函数思想利用函数的有关性质，解决不等式证明的有关问题，即以运动和变化的观点，分析不等式问题的数量关系，建立函数关系，运用函数的图像和性质求解，从而使问题获得解决。例1求证：。分析：由不等式的结构，我们选取函数，可以利用函数的单调性证明此不等式。证明：设，因为，所以在x>0上是增函数，又。设，，则。评注：在证明不等式问题中，构造相应的函数，结合具体函数的性质，可以使有些不等式问题化难为易化繁为简，是一种重要的解题方法。二、方程思想方程与不等式联系密切，把不等式问题转化为相应的方程问题，利用方程的性质处理，使不等式问题得到解决，这一思想方法就称为方程思想。例2设，求证：。分析：此题直接证明比较困难，我们采用构造方程的方法解决。设，利用积化和差公式把这个函数化成的二次方程求解。证明：设，则。整理，得。这是一个关于sinA的一元二次方程，且有实数解，所以。所以。即。评注：此题用方程的思想方法求解，思路清晰、过程简捷。但是，构造一元二次方程需要一定的技巧，是经验和能力的体现。三、数形结合思想在证明不等式问题时，可以根据“式”的结构特征，构造相应的几何图形，并通过图形用心爱心专心116号编辑的性质解决不等式问题。例3求证：（a与c，b与d不同时相等。）分析：由不等式的结构知，可表示点A（a，b）到O（0，0）距离，可表示到B（c，d）到O（0，0）距离，可表示点A、B之间的距离。这样就可以借助平面直角坐标系上两点之间的距离公式及其性质证明此不等式。证明：在直角坐标系中，设A（a，b）、B（c，d）、O（0，0），如图1，|AB|=，，。当A、B、O三点不共线，且A、B在O点同侧时，，即；当A、B、O三点不共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时。，即。综上所述成立。图1评注：如果能把不等式问题以图形的形式描述，揭示出命题的几何特征，就能变抽象为直观，使抽象思维和形象思维在解题过程中相互转化，使初看很难或很繁的问题变得容易和简单。四、分类讨论思想分类讨论思想实际上就是一种逻辑划分，在解决不等式问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将某一对象划为若干既有联系又有区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的。例4已知a>0，a≠1，01，。（1）当01时，，。所以=。综上所述，当a>0，a≠1，01，。评注：正确的进行讨论的前提是正确分类，分类要符合互斥、无漏、最简的原则，然后进行全面恰当的分情况的讨论。五、对称思想对于一个整体，若存在可互换的部分，就称它们“对称”。用“对称”这一原理去处理不等式问题，就称为对称的思想方法。例5设，求证：。分析：显然，不等式的左边同时用x代替y，用y代替z，用z代替x，原代数式不变，则它是轮换对称式。下面我们利用它的性质，构造一组对偶式求解。证明：设，它的对偶式，则，。所以，即A≥0，所以。评注：使用对称的思想方法解决问题，可以化繁为简，化难为易，使解题过程脉络清晰。六、归纳思想在解决某一不等式证明问题时，如果采用不完全归纳法或完全归纳法来做，就称这两种思想方法为归纳的思想方法。例6当a>2时，数列的首项，（n=1，2，…），证明：，且（n=1，2，…）分析：已知条件给出了递推关...