高考数学二轮复习 压轴题增分练2 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

压轴题增分练(二)(时间：30分钟满分：24分)1．(12分)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．[规范解答及评分标准](1)由题意知，a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(1分)因为c＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.(3分)(2)设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.(4分)因为A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)，(5分)令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋.(6分)直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.(8分)所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四边形ABNM的面积为定值2.(12分)2．(12分)函数f(x)＝xex－lnx－ax.(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2(e－1)(x－1)平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下，求f(x)的最小值．[规范解答及评分标准](1)由题意得f′(x)＝(x＋1)ex－－a(x>0)，(2分)∴f′(1)＝2e－1－a＝2(e－1)．∴a＝1.(3分)(2)由题意知，f′(x)＝(x＋1)ex－－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，(4分)即a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．(5分)令g(x)＝(x＋1)ex－，则g′(x)＝(x＋2)ex＋>0.(6分)∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2e－1，∴a≤2e－1.(8分)(3)当a＝1时，f(x)＝xex－lnx－x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝(x＋1)ex－－1.令m(x)＝(x＋1)ex－－1，则m′(x)＝(x＋2)ex＋>0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．(9分)又f′<0，f′(1)>0，∴∃x0∈使得f′(x0)＝0，此时ex0＝.∴当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．(10分)∴f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－lnx0－x0＝x0·－ln－x0＝1.(12分)