课时素养评价二十三函数奇偶性的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数f(x)=-x,x∈(-1,0)∪(0,1),则正确的判断是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(0,1)上单调递减D.f(x)在(-1,0)上单调递减【解析】选A、C、D.函数f(x)=-x的定义域为{x|x≠0},因为∀x∈{x|x≠0}都有-x∈{x|x≠0},且f(-x)=-(-x)=-=-f(x),所以f(x)=-x为奇函数,因为y=和y=-x都在(0,1)上单调递减,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,根据f(x)为奇函数可知f(x)在(-1,0)上单调递减,综上知A,C,D正确,B错误.【加练·固】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=x3C.y=D.y=x2【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,y=x+1,是一次函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,y=x3,为幂函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;对于C,y=,为反比例函数,在定义域上不是增函数,不符合题意;对于D,y=x2,为二次函数,不是奇函数,不符合题意.2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在(-∞,0)上有()A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x),因为函数f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数,且F(x)=h(x)+2.因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以h(x)在(0,+∞)上有最大值3,所以h(x)在(-∞,0)上有最小值-3,所以F(x)=h(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.3.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-∞,-3)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,0)∪(0,3)【解析】选B.因为f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.则对应的函数图象如图(草图):则当-33时,f(x)>0,当0f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(3)>f(-2)>f(-π)D.f(3)>f(-π)>f(-2)【解析】选A.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).二、填空题(每小题4分,共8分)5.定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2+-x,则f(x)=________.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0;又因为x<0时,f(x)=2x2+-x,f(-x)=-f(x),所以x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2+-(-x)=2x2-+x,f(x)=-f(-x)=-2x2+-x;综上,f(x)=答案:6.设函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,则f(a+b)=________,此函数的最大值和最小值之和为________.【解析】因为函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0,由奇函数的图象关于原点对称可知,此函数的最大值和最小值之和为0.答案:00三、解答题(共26分)7.(12分)已知函数f(x)=x2+.(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.(2)判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.【解析】(1)f(x)为非奇非偶函数.理由如下:根据题意,f(x)=x2+,则f(-1)=0,f(1)=2;则有f(-1)≠-f(1),且f(-1)≠f(1);则f(x)为非奇非偶函数.(2)根据题意,f(x)在[2,+∞)上单调递增.证明:∀x1,x2∈[2,+∞),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2),又由x1>x2≥2;则x1-x2>0,x1x2>4,<1,x1+x2->0,则f(x1)>f(x2);故f(x)在[2,+∞)上单调递增.8.(14分)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f(x)的表达式.(2)求出f(x)的值域.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),则b-2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2;由于f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2;y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.设y=ax2+2,过点(-1,1),则a+2=1,解得a=-1,所以y=-x2+2,可见当-1
