等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．概念方法微思考1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．1．（2020•北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，，得，．由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知，，，为最大项，自起均小于0，且逐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选．2．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C【解析】方法一：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，方法二：设第环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，下层比中层多729块，，，，解得，，故选．3．（2019•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选．4．（2018•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则A．B．C．10D．12【答案】B【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得．故选．5．（2017•全国）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是A．B．C．D．，【答案】A【解析】等差数列的前项和为，，，，，，解得．公差的取值范围是，．故选．6．（2017•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】为等差数列的前项和，，，，解得，，的公差为4．故选．7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为A．B．C．3D．8【答案】A【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，，且，，解得，前6项的和为．故选．8．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则__________．【答案】【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以．故答案为：．9．（2020•新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．【答案】25【解析】因为等差数列中，，，所以，，即，则．故答案为：25．10．（2020•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和...
