高中数学立体几何探索性问题荟萃专题辅导VIP免费

立体几何探索性问题荟萃周丽华夏则勇探索性问题又叫开放型问题，它没有明确的结论，需要我们去探求．探索性问题分为三类：一是条件探索型；二是结论探索型；三是类比探索型．立体几何探索性问题是同学们学习的一个难点，本文就这类问题作分类探析，希望对同学们有所帮助．一、条件探索型例1、如图1所示，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．（1）请指出图中互相垂直的平面．（要求：必须列出所有的情形，但不要求证明）（2）若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中须添加一个什么条件？（要求：添加你认为正确的一个条件，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性）（3）设D是PC的中点，AC=AB=a（a是常数），试探究在PA上是否存在点M，使MD+MB最小．若存在，试确定点M的位置；若不存在，说明理由．分析：根据面面垂直的判断定理，应首先找到图形中的线面垂直关系，然后进一步推出面面垂直，对于求沿几何体表面路径的最短问题，一般要通过将图形展开的办法求解．解析：（1）图中互相垂直的平面有：平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC．（2）要使互相垂直的平面．对数在原有的基础上增加一对，在△ABC中须添加：AB⊥BC（或添加∠ABC=90°，或者AC是圆O的直径等）．由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，知BC⊥PA，又AB⊥BC，PA交AB于点A，所以BC⊥平面PAB．又BC平面PBC，知平面PBC⊥平面PAB．可见以上添加的条件正确．（3）将平面PAB绕PA沿逆时针方向旋转到与平面PAC在同一平面上，如图2所示．由PA⊥AC，PA⊥AB，知C、A、B三点在同一直线上，连接DB交PA于点M，则点M就是所求的点．过点D作DE∥BC交PA于点E，因D是PC的中点，所以E为PA的中点．∴且若AC=AB，∴，得，即点M为AP方向上AP的第一个三等分点。评析：所谓条件探索型就是探求某一结论成立的条件，其采用的方法一般为反探法（根据结论探求条件），即假设存在，然后运用条件推理计算，最终得出正确的结论．二、结论探索型例2、在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．（1）指出动点P的轨迹（即说明动点p在满足给定的条件下运动时所形成的图形），并证明你的结论．（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P-CDE的最大体积是正四棱锥S-ABCD体积的几分之几？（3）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其他条件不变，请指出点P的轨迹，并证明你的结论．分析：利用题目中的垂直关系进行判断。解析：（1）如图3所示，分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连接SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC，又EG∥SB，知EG⊥AC．∴AC⊥平面EFG．由P∈FG，E∈平面EFG，得AC⊥PE．（2）由于S△CDE是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，VP-CDE最大．易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故（VP-CDE）max=VG-CDE．又S△CDE=S正方形ABCD，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，所以（3）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持PE⊥AC，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，AC⊥平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内．过E作EG′∥SB，EF′∥BD，分别交SC于G′，交CD于F′，则平面EF′G′∥平面SBD，从而AC⊥平面EF′G′，故点P的轨迹是线段F′G′．评析：本题在充分利用题目中的垂直关系去探寻问题的结论时，应注意题目中一些不变量的关系，并使之成为探求的条件．三、类比探索型例3、由图4的面积关系得，则由图5的体积关系得=。解析：运用类比思维，知。证明如下：如图6，分别过B、B1作平面PAC的垂线BO、B1O1，垂足分别为O、O1。∴评析：利用平面几何结论类比探索立体几何结论是一类常见的类比问题，解答时应注意元素的相互对应，如线对面、面对体、平面角对二面角、长度对面积、面积对体积等，在类比的过程中要注意平面和空间的区别．