课下能力提升（十三）球一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()A.πB.C．8πD.π2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是()A．1∶2∶3B．1∶∶C．1∶2∶3D．1∶4∶73．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为()A.πB．4πC．4πD．6π4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa25．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3二、填空题6．一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面的距离为4cm，则球的体积为________cm3.7．一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm，则这个球的表面积是________．8．如图所示，正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．三、解答题9．如图，ABCD是正方形，是以A为圆心的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．10．如图，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．答案1.解析：选D所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝＝，球的体积为πR3＝π.2.解析：选C∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，即r∶r∶r＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝1∶∶，∴V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.3.解析：选B设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.4.解析：选B正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R＝＝a，∴S＝4πR2＝4π×＝a2.5.解析：选A解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2)cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝cm3，选择A.6.解析：如图所示，由已知：O1A＝3，OO1＝4，从而R＝OA＝5.∴V球＝×53＝(cm3)．答案：7.解析：球的体积等于以16cm为底面半径，高为9cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以πR3＝π·162·9，解得R＝12(cm)，所以S球＝4πR2＝576πcm2.答案：576πcm28.解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，∴其高为1，由对称性可知，棱长为的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为π.答案：π9.解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球．设正方形的边长为a，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为VⅠ、VⅡ和VⅢ，则VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.10.解：设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.∵在Rt△COB中，CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l且S球∶S圆台侧＝3∶4，∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4.∴(r1＋r2)2＝R2，∴V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]＝×2R×＝πR3.故圆台的体积为πR3.
