考点25数列求和及综合应用一、选择题1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（）A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解析】选B.因为，，，所以，，注意到，所以.于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值.因为，所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列.二、填空题2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列的前项和，则的通项公式是_________【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.【解析】由，解得，又，所以，得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式【答案】3.（2013·湖南高考理科·Ｔ15）设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________.【解题指南】（1）令，代入即可得到答案.（2）通过整理可发现当当为偶数时有，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案.【解析】（1）因为，所以，①，，即②，把②代入①得.（2）因为当时，，整理得，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，所以，所以当为偶数时，，所以.【答案】（1）（2）4.（2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、成等比数列，则【解题指南】先根据、、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.【解析】因为、、成等1比数列,所以,化简得因为,所以,故【答案】三、解答题5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数（I）若；（II）设数列【解析】（I），令，即，解得或若，则时，，所以.若，则时，，，所以.综上的最小值为.（II）令，由（I）知，时，.即.取，则.于是.所以6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列{an}前n项和为Sn,因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=7.（2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列满足：，，．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求．【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解.【解析】（Ⅰ）由题设知是首项为公比为的等比数列,所以,（Ⅱ）所以公差，故.8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3.(2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c.(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=c+10.(2)f(x)=当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.(3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列,又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8.①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求.②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).9.（2013·上海高考文科·...
