高考数学 玩转压轴题 专题3.6 定值计算并不难，构建函数再消元-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题3.6定值计算并不难，构建函数再消元【题型综述】在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．【典例指引】例1．已知圆与坐标轴交于（如图）．（1）点是圆上除外的任意点（如图1），与直线交于不同的两点，求的最小值；（2）点是圆上除外的任意点（如图2），直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值．【思路引导】（1）设出，的直线方程，联立直线，分别得出M,N的坐标，表示出，求其最值即可；（2）分别写出E,F的坐标，写出斜率，即可证明为定值．（2）由题意可知，的斜率为直线的方程为，由，得，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得，的斜率（定值）．例2．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知点A、B为动直线与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（Ⅰ）由e=，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使为定值，定点为（）．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2==（k2+1）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即m=，此时=为定值，定点为（）．点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．例3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．【答案】（1）（2）【思路引导】（1）由已知得由此能求出椭圆的方程．（2）当直线轴时，．当直线与轴不垂直时，设直线直线与与圆的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与圆相切，得，联立，得（，由此能证明为定值．联立得，，=综上，（定值）【点评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．例4．已知是圆上任意一点，点的坐标为，直线分别与线段交于两点，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相交于两点，设为坐标原点，，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）（定值）【思路引导】（1）化简向量关系式可得，所以是线段的垂直平分线，所以，转化为椭圆定义，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值．【扩展链接】2015全国新课标II理20题深度分析已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．高考试题落实运算求解能力考查的方式：1．考查分析运算条件：平行四边形的判定定理选择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来...