§6.4数列求和及应用1．数列求和方法(1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．(Ⅱ)常见数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝；②2＋4＋6＋…＋2n＝；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝；④12＋22＋32＋…＋n2＝；⑤13＋23＋33＋…＋n3＝.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式：①＝－；②＝；③＝；④＝(－)；⑤＝－；⑥C＝；⑦n·n！＝！－n！；⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．2．数列应用题常见模型(1)单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝.(2)复利公式利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝.(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝.(4)递推型递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．自查自纠1．(1)①②n2＋n③n2④(5)①②③④⑤⑥C－C⑦(n＋1)2．(1)a(1＋xr)(2)a(1＋r)x(3)N(1＋p)x设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合．解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选D.()若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9解：由韦达定理得a＋b＝p，a·b＝q，则a＞0，b＞0，当a，b，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，有a·b＝q＝4，b＝；当a，b，－2适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，不妨设a是等差中项，2a＝－2，解得a＝1，b＝4；∴a＋b＝p＝5，从而p＋q＝9.故选D.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列的前8项和为()A．－B．－C.D.解：设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得解得∴{an}的通项公式为an＝2－n.∴＝＝，∴数列的前8项和为(－＋－＋…＋－)＝－.故选B.黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．解：设第n个图案中白色地面砖有an块，则a1＝6，a2＝10，a3＝14，易知an－an－1＝4(n≥2)，∴{an}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.故填4n＋2.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________.解：设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.两式相减得S＝3×＋－.∴S＝3＋－＝3＋－＝4－.故填4－.类型一基本求和问题数列求和：(1)求数列1，2，3，…，，…的前n项和Sn；(2)求和：1＋＋＋…＋；(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)；(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋.解：(1)Sn＝＋＋＋…＋(n＋)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝n(n＋1)＋＝n(n＋1)＋1－.(2)设数列的通项为an，则an＝＝2，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝.(3) f(x)＝，∴f(x)＋f＝1.令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)，①则S＝f(2014)＋f(2013)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②①＋②得：2S＝1×4027＝4027，所以S＝.(4)(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝.(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋…＋＋，②由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，∴Sn＝.综上所述，Sn＝【点拨】数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．求和：(1)求数列9，99，999，…的前n...
