高中数学 三角函数的最值问题复习讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学试题VIP免费

三角函数的最值问题专题类型一、可化为、型：例1、函数，当y取得最大值时x的集合。点拨：此类问题为类型的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型，再用辅助角公式化为求解。解:例2、已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。解：f(x)的最小正周期为，最大值为。类型二、换元后化为普通函数：例3、函数的最小值为.[分析]，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得,当t=1时,即cosx=1时，.例4、函数y=5sinx+cos2x的值域为.点拨：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。例5、函数的值域为.解：原函数变形为，可直接得到：或1例6、已知，则函数的最小值为.[分析]设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。例7、函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为.点拨：对于表达式中同时含有sinx+cosx与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。解：令sinx+cosx=t，则，其中当例8、函数y=的值域为.类型三、直接求导型：例9、函数的最小值为.点拨：该题可利用导数来求解或者利用其几何意义求解。例10、函数，的最小值为.[分析].令，得或，又，故.2故当时，，此时实数取最大值.练习：1、函数f(x)=cosx+sinx在区间上的最小值是.2、函数的值域为.解：设则于是故当时，即时，当t=1时，即时，3、如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().（Ⅰ）试将水槽的最大流量表示成关于函数；（Ⅱ）求当多大时，水槽的最大流量最大.解：（1）由题意其中。（2）令又因为，而在上递减，当=60时水槽的流量最大。4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求与的值.(Ⅱ)若曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范围.3θaaa解:由,得.(I)因为曲线在点处与直线相切,所以,解得,.(II)令,得.所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值.当时,曲线与直线最多只有一个交点;综上,的取值范围是.5、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则故，又，所以。②，则，所以，所以所求的函数关系式为。（I）选择函数模型①：。令得，又，所以。当时，，是的减函数；时，，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。4