第48课多面体的结构特征1.（1）棱柱的结构特征名称棱柱直棱柱正棱柱图形特征①两底面互相平行，②其余各面（侧面）都是四边形，③相邻两个四边形的公共边都互相平行，即侧面都是平行四边形侧棱与底面垂直的棱柱底面是正多边形的直棱柱面积棱柱侧面积每个侧面面积之和棱柱表面积体积柱体的体积（2）长方体与正方体①长方体有6个面，有12条棱。②若长方体的长、宽、高分别是、、，则长方体的对角线长，长方体的表面积为，长方体的体积为③若正方体的棱长是，则它的对角线长，每个面的对角线长为，表面积为，体积为例1.正三棱柱的高为，底面边长为，则它的体积为，它的侧面积为，它的表面积为解：底面面积为，体积为侧面积为它的表面积为例2.若一个长方体共顶点的三个面的面积分别是、、，求这个长方体的对角线长与体积【解析】设长方体的长、宽、高分别为、、，则∵，解得，∴．∴对角线长．体积为1SBCDA2.棱锥的结构特征名称棱锥正棱锥图形特征①有一个面是多边形，②其余各面是有一个公共顶点的三角形．底面是多边形，并且各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥．面积棱锥侧面积每个侧面面积之和棱锥表面积体积锥体的体积例3.正棱锥的底面边长为，高为，求（1）棱锥的侧棱长和斜高（2）棱锥的表面积与体积【解析】（1）设为正四棱锥的高，则，作，则为中点．连结、，则，.，，则，，在中，；在中，.∴侧棱长为，斜高为.（2）棱锥的表面积为3.棱台的结构特征名称棱台正棱台图形特征①两底面互相平行，②用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分．用平行于正棱锥的底面平面截得的棱台2MABCPNC1B1A1棱台的上下底多边形一定相似，即上底面与下底面的边长对应成比例面积棱台侧面积每个侧面面积之和棱台表面积体积台体的体积，这个公式不要求记忆例4.正棱台的上下底面边长为分别为2与，高为，求：（1）棱台的侧棱长和斜高．（2）求这个棱台的全面积与体积4.侧面展开图例5.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)和的长．【解析】(1)正三棱柱侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，其对角线长为.(2)如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点即点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线．设，即.在中，,∴，解得，∴.∵，∴.第48课多面体的结构特征作业1.在下图的几何体中，①③⑤⑦是柱体（填序号）3QPAC1B1A1CB2.下列命题正确的是（D）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3D．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4解析：由长度关系知＝＝＝，所以选项C的数据表明这个几何体可能是三棱台．故选D.4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的大小为()A．30°B．45°[C．60°D．90°解析：将展开图恢复为无盖正方体，连接AB，BC，AC，可得△ABC为正三角形．所以∠ABC＝60°.故选C.5.已知一个正三棱锥的所有棱长均为2，求：（1）这个三棱锥的表面积（2）这这个三棱锥的体积5.正三棱台上底面边长为3，下底面边长为6，高为1，求：这个正三棱台的斜高与侧棱长．8.如图，在高为4直三棱柱中，是边长为2的等边三角形，点、分别在侧棱和上，，求四棱锥的体积．【解析】如图，作，垂足为，则平面，．7.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2厘米，高为5厘米，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为多少厘米？4答案：135
