4.5.2用二分法求方程的近似解分层演练综合提升A级基础巩固1.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)·f(a+b2)>0,则()A.f(x)在区间a,a+b2上有零点B.f(x)在区间a+b2,b上有零点C.f(x)在区间a,a+b2上无零点D.f(x)在区间a+b2,b上无零点答案:B2.如果函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984f(1.375)≈-0.260f(1.4375)≈0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5答案:C3.用二分法求方程2x+3x-9=0在区间[1,3]上的近似根时,取中点2,则下一个有根区间是(1,2).4.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即得出方程的一个近似解为0.6875(答案不唯一).(精确度为0.1)5.用二分法求函数f(x)=x2-5的零点的近似值(精确度为0.1).解:因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)上有零点x0.取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.因为f(2.2)f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.0625.因为f(2.2)f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).因为|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以函数f(x)=x2-5的零点的近似值可取为2.25.B级能力提升6.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,若用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为()A.3B.4C.5D.6解析:设等分的最少次数为n,则由0.12n<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.答案:B7.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,至少4次就一定可以发现这枚假币.解析:将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则质量小的那一枚即是假币.综上可知,至少称4次就一定可以发现这枚假币.8.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以a=-b-c,因为-b-2c>0,所以-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,所以a>0.取区间(0,1)的中点12,则f(12)=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间(0,12)上和区间(12,1)上各有一个零点.又因为f(x)为二次函数,最多有两个零点,所以方程f(x)=0在区间(0,1)上有两个实根.C级挑战创新9.多选题下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是()A.y=2x+1B.y={-x+1,x≥0,x+1,x<0C.y=12x2+4x+8D.y=|x|解析:对于选项C,y=12x2+4x+8=12(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A,B有零点,且可用二分法求零点的近似值.答案:CD10.多空题某同学在借助计算器求方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.8125.解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125).
