浙江省高考数学一轮复习 第七章 数列、数学归纳法 第2节 数列的通项公式（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2节数列的通项公式考试要求会求简单数列的通项公式.知识梳理1.归纳法：寻找数列的项与序号之间的规律.2.公式法：利用等差、等比数列的通项公式.3.前n项和法：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝4.递推公式法：如果数列{an}的第n项与它前一项(或前几项)的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.数列的递推公式包含两个部分，一是递推关系，二是初始条件.此类型一般用累加(乘)法、叠代法、或构造新数列解决.5.由f(an，Sn)＝0，求an.一般用转化法，即项an和Sn互化.[常用结论与易错提醒]1.由Sn＝f(n)求an时，需检验n＝1的情况.2.由递推公式求通项公式时，注意构造新数列.3.由f(an，Sn)＝0求an时，注意利用变量n.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)给出数列的前几项，写出的通项公式可能不唯一.()(2)an＝Sn＋1－Sn(n∈N*).()(3)利用递推公式和初始项的值，应该能推出数列的其余各项.()(4)若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则an＝2n.()解析(2)不正确，an＋1＝Sn＋1－Sn；(4)不正确，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝答案(1)√(2)×(3)√(4)×2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案A3.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an＝(－1)n－1＋1B.an＝C.an＝2sinD.an＝cos(n－1)π＋1解析对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.答案C4.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.解析a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)，a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，∴an＝1＋5×(n－1)＝5n－4.答案5n－45.在数列{an}中，a1＝2，且对任意的m，n∈N*有am＋n＝am·an，则a6＝________.解析a6＝a2a4＝a2a2a2＝(a)3＝26＝64.答案646.(2020·北京朝阳区一模)等比数列{an}满足如下条件：①a1>0；②数列{an}的前n项和Sn<1.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.解析例：a1＝>0，q＝，Sn＝＝1－<1，则an＝.答案an＝(n∈N*)(答案不唯一)考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)，，，，，…；(3)，2，，8，，…；(4)5，55，555，5555，….解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)这是一个分数数列，分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为an＝.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】(1)数列0，，，，…的一个通项公式为()A.an＝(n∈N*)B.an＝(n∈N*)C.an＝(n∈N*)D.an＝(n∈N*)(2)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.解析(1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.答案(1)C(2)(－1)n考点二根据Sn与an的关系求通项公式an多维探究角度1由Sn＝f(n)求an【例2－1】(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－...