学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·苏州高二检测)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．【解析】设此正三棱锥的高为h，则h2＋2＝1，所以h2＝，h＝，故此三棱锥的体积V＝××()2×＝.【答案】2．一个正四棱台形油槽可以装煤油190L，假如它的上、下底边长分别等于60cm和40cm，它的深度是________cm.【解析】设深度为h，则V＝(402＋40×60＋602)，即190000＝×7600，所以h＝75.【答案】753．如图1311，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.【导学号：60420042】图1311【解析】将该几何体补上一个同样的几何体，变为一个高为a＋b的圆柱，则所求几何体的体积为V＝＝×πr2·(a＋b)＝.【答案】4．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【解析】设新的底面半径为r，由题意得×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝.【答案】5．(2015·山东高考改编)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.【答案】6．将一铜球放入底面半径为16cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9cm，则这个铜球的半径为__________cm.【解析】设铜球的半径为Rcm，则有πR3＝π×162×9，解得R＝12.【答案】127．如图1312，在直三棱柱ABCA1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．图1312【解析】在△ABC中，BC边上的高h＝＝2，V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，∴VEABC＋VFA1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.【答案】308．如图1313所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A(B)，C，D，O为顶点的四面体的体积是__________．图1313【解析】显然，折叠后OA是该四面体的高，且OA为2，而△COD的面积为4，所以四面体的体积为.【答案】二、解答题9．如图1314所示，A为直线y＝x上的一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为9π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．图1314【解】阴影部分绕x轴旋转一周所得几何体是圆锥挖去一个内切球．其体积为V＝V圆锥－V球．设A点坐标为(x，y)，则解得于是∠AOB＝30°，从而OO′＝2R，3R＝x＝3，R＝.∴V＝9π－πR3＝9π－π()3＝5π.10．直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1ABA1的体积．【解】(1)如图，连结AB1， ABCA1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又 AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2) AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知A1C1⊥平面ABA1，∴VC1ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.[能力提升]1．(2014·山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【解析】设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.【答案】122．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．【解析】法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.法二：...
