高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲空间几何体的表面积与体积一、选择题1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πSD．πS解析：选A．由πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为2π·＝2，所以圆柱的侧面积是4πS，故选A．2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A．πB．C．πD．解析：选D．由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为＝，因此体积＝2××π×12×＝π．3．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20B．22C．24D．26解析：选D．该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26．故选D．4．(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()1A．(9＋)πB．(9＋2)πC．(10＋)πD．(10＋2)π解析：选A．由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋×2π×＝(9＋)π．5．(2018·云南第一次统考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：选C．由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，所以该几何体的体积为×3×4×5－××3×4×3＝24，故选C．6．正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2，则它的外接球的表面积是()A．16πB．12πC．8πD．4π解析：选A．设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝AC＝＝＝2，所以PO＝＝＝2．又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π．二、填空题7．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π．无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2．故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π．答案：32π2＋8π或32π2＋32π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．2解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－－＝．答案：9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，这个几何体的体积为，则经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为________．解析：设AA1＝x，则VABCDA1C1D1＝VABCDA1B1C1D1－VBA1B1C1＝2×2×x－××2×2×x＝，则x＝4．因为A1，C1，B，D是长方体的四个顶点，所以经过A1，C1，B，D四点的球的球心为长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R＝＝，所以球的表面积为24π．答案：24π10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．解析：由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，所以体积V＝××＝．答案：三、解答题11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边3形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π．12．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H．(1)若圆锥内有一个高为x的内接圆柱，则x为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台，当两几何体的体积相等时，求小圆锥的高与圆台的高的比值．解：(1)设圆柱的侧面积为S，底面半径为r．由＝，得r＝R－·x．则圆柱的侧面积S＝2πrx＝2πx＝－·x2＋2πRx，显然，当x＝－＝时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为－·＋2πR·＝πRH．(2)设小圆锥的底面半径为a，高为b．由题意得小圆锥的体积V1＝×πR2H＝πR2H，由＝，且πa2b＝πR2H，得b＝H＝H．设圆台高为c，则＝＝，故小圆锥的高与圆台的高的比值为．4