等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2abB.a+b≥2❑√abC.1a+1b>2❑√abD.ba+ab≥2答案：D解析：a2+b2≥2ab,所以A错误;ab>0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a<0,b<0时,B错误;同理,C错误;ab或ba都是正数,根据不等式求最值,ab+ba≥2❑√ab×ba=2,故D正确。2.若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是()。A.|a+b|2≥❑√|ab|B.ba+ab≥2C.a2+b22≥(a+b2)2D.(a+b)(1a+1b)≥4答案：C解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-(ab+ba)≥2❑√ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立;对于C,a2+b22≥(a+b2)2,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba≥2,原不等式成立,当a,b异号时,-(ab+ba)≥2❑√ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,原不等式不成立,故D中不等式不恒成立。故选C。3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满足1a+2b=❑√2ab,则ab的最小值为()。A.❑√2B.2C.2❑√2D.4答案：B解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1a+2b≥2❑√2❑√ab,当且仅当1a=2b时取等号,则❑√2ab≥2❑√2❑√ab⇒ab≥2,故选B。4.(2019·北京东城区高二周练)已知x<0,函数y=4x+x的最大值是()。A.2❑√2B.4C.-2❑√2D.-4答案：D解析：y=x+4x=-[(-x)+(-4x)],因为x<0,所以-x>0,-4x>0,所以(-x)+(-4x)≥4,所以y=-(-x)+(-4x)≤-4,当且仅当x=-2时等号成立,所以函数的最大值为-4。5.设0
2x;②ab+ba≥2(ab>0);③2aa2+1<1(a≠1)。其中正确的不等式是。(将正确的不等式的序号全填上)答案：①②③解析：对于①,x2+3-2x=(x-1)2+2>0,正确;对于②,因为ab>0,ba>0,所以ab+ba≥2恒成立;对于③, a≠1,∴2a(a+b)22=12,而2ab<(a+b)22=12。由a+b=1及01,所以2ab>a,所以4个数中最大的数是a2+b2,故选B。10.(2019·沈阳四中高二月考)a,b是正数,则a+b2,❑√ab,2aba+b三个数的大小顺序是()。A.a+b2≤❑√ab≤2aba+bB.❑√ab≤a+b2≤2aba+bC.2aba+b≤❑√ab≤a+b2D.❑√ab≤2aba+b≤a+b2答案：C解析：因为a,b是正数,所以a+b2≥❑√ab,再比较a+b2或❑√ab与2aba+b的大小即可,而2aba+b≤2ab2❑√ab=❑√ab,所以2aba+b≤❑√ab≤a+b2,故选C。11.(2019·山东滨城区一中高二月考)若m,n,a,b,c,d均为正数,p=❑√ab+❑√cd,q=❑√ma+nc·❑√bm+dn,则p,q的大小关系为()。A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定答案：B解析：q=❑√ab+madn+nbcm+cd≥❑√ab+2❑√abcd+cd=❑√ab+❑√cd=p,当且仅当madn=nbcm时取等号。12.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()。A.都大于...
