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高考数学 玩转压轴题 专题1.2 极值点偏移问题利器--极值点偏移判定定理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 玩转压轴题 专题1.2 极值点偏移问题利器--极值点偏移判定定理-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题1.2极值点偏移问题利器--极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点0x,方程0)(xf的解分别为21,xx,且bxxa21,(1)若)2()(201xxfxf,则021)(2xxx,即函数)(xfy在区间),(21xx上极(小)大值点0x右(左)偏;(2)若)2()(201xxfxf,则021)(2xxx,即函数)(xfy在区间),(21xx上极(小)大值点0x右(左)偏.证明:(1)因为对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点0x,则函数)(xf的单调递增(减)区间为),(0xa,单调递减(增)区间为),(0bx,由于bxxa21,有01xx,且0202xxx,又)2()(201xxfxf,故2012)(xxx,所以021)(2xxx,即函数极(小)大值点0x右(左)偏;(2)证明略.左快右慢(极值点左偏221xxm)左慢右快(极值点右偏221xxm)1左快右慢(极值点左偏221xxm)左慢右快(极值点右偏221xxm)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述:(1)求出函数)(xf的极值点0x;(2)构造一元差函数)()()(00xxfxxfxF;(3)确定函数)(xF的单调性;(4)结合0)0(F,判断)(xF的符号,从而确定)(0xxf、)(0xxf的大小关系.口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板:若已知函数)(xf满足)()(21xfxf,0x为函数)(xf的极值点,求证:0212xxx.(1)讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点0x;假设此处)(xf在),(0x上单调递减,在),(0x上单调递增.(2)构造)()()(00xxfxxfxF;注:此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0xxfxfxF的形式.(3)通过求导)('xF讨论)(xF的单调性,判断出)(xF在某段区间上的正负,并得出2)(0xxf与)(0xxf的大小关系;假设此处)(xF在),0(上单调递增,那么我们便可得出0)()()()(000xfxfxFxF,从而得到:0xx时,)()(00xxfxxf.(4)不妨设201xxx,通过)(xf的单调性,)()(21xfxf,)(0xxf与)(0xxf的大小关系得出结论;接上述情况,由于0xx时,)()(00xxfxxf且201xxx,)()(21xfxf,故)2()]([)]([)()(2002002021xxfxxxfxxxfxfxf,又因为01xx,0202xxx且)(xf在),(0x上单调递减,从而得到2012xxx,从而0212xxx得证.(5)若要证明0)2('21xxf,还需进一步讨论221xx与0x的大小,得出221xx所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.此处只需继续证明:因为0212xxx,故0212xxx,由于)(xf在),(0x上单调递减,故0)2('21xxf.【说明】(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求)(xf的单调性、极值点,证明)(0xxf与)(0xxf(或)(xf与)2(0xxf)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如0212xxx或0)2('21xxf的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.3三、对点详析,利器显锋芒★已知函数)()(Rxxexfx.(1)求函数)(xf的单调区间和极值;(2)若21xx,且)()(21xfxf,证明:221xx. 12x,∴122x,)(xf在)1,(上单调递增,∴212xx,∴221xx.★函数3434)(xxxf与直线)31(aay交于),(1axA、),(2axB两点.证明:221xx.4★已知函数2()lnfxxx,若1x2x,且)()(21xfxf,证明:421xx.【解析】由函数2()lnfxxx单调性可知:若)()(21xfxf,则必有212xx,。所以241x,而)4ln(42ln2)4()(111111xxxxxfxf,令)4ln(ln422)(xxxxxh,则0)4()2(8)4()4()4(2)4(2411)4(22)('22222222222xxxxxxxxxxxxxxxxh所以函数)(xh在)2,0(为减函数,所以0)2()(hxh,所以0)4()(11xfxf即)4()(11xfxf,所以)4()(22xfxf,所以421xx.5★已知函数221xfxxeax有两个零点.设12,xx是fx的两个零点,证明:122xx...

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