课时作业11一元二次方程的解集及其根与系数的关系时间：45分钟分值：100分1．方程x2－4x＋1＝0的解集为(C)A．2＋B．2－C．{2＋，2－}D．(2－，2＋)解析：方程配方得(x－2)2＝3，解得x－2＝±，即x＝2±，故选C.2．方程x2－a＝0的解集为∅，则a的范围为(C)A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：Δ＝02－4×(－a)＝4a<0，即a<0，故选C.3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2＝0}，则A∪B＝(C)A．{－1}B．{－1,1,2}C．{－1,1，－2}D．{－1,2}解析：A＝{－1,1}，B＝{－1，－2}，A∪B＝{－1,1，－2}，故选C.4．方程2x2－3x－4＝0的两根为x1，x2，则x＋x＝(D)A.B.C．－D.解析：由已知得x1＋x2＝，x1x2＝－2，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝，故选D.5．方程＋－1＝0的解集为(C)A.B.C．{－1,2}D．{1，－2}解析：方程变形为x2－x－2＝0，即(x－2)(x＋1)＝0，解为x＝－1或x＝2.故选C.6．在一元二次方程x2＋bx＋c＝0中，若系数b和c在1,2,3,4,5,6中取值，则其中有实数根的方程个数为(C)A．4B．10C．19D．21解析：要使方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.当b＝1时，c取任何值都不符合题意；当b＝2时，c可以取1；当b＝3时，c可以取1,2；当b＝4时，c可以取1,2,3,4；当b＝5时，c可以取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，c可以取1,2,3,4,5,6.因此，有实数根的方程x2＋bx＋c＝0的个数为19.7．若x1，x2分别是方程2x2－6x＋3＝0的两个实数根，则＋的值是2.解析：由韦达定理得x1＋x2＝3，x1x2＝.故＋＝＝＝2.8．若m，n是方程x2＋2018x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn＝2019.解析：∵m，n是方程x2＋2018x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝－2018，mn＝－1，则原式＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2018－1)＝－1×(－2019)＝2019.9．若实数x，y满足x2＋y2－xy－x－y＋1＝0，则x＝1，y＝1.解析：把x2＋y2－xy－x－y＋1＝0看成关于x的方程，整理得x2－(y＋1)x＋y2－y＋1＝0.因为x，y为实数，所以关于x的方程应有实数根，从而Δ＝[－(y＋1)]2－4(y2－y＋1)＝－3(y－1)2≥0，故y＝1.把y＝1代入原方程得x2－2x＋1＝0，解得x＝1.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：无论k为任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若两实数根x1，x2满足(x1＋1)(x2＋1)＝12，求k的值．解：(1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴无论k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋k，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝k2＋k＋2k＋1＋1＝12，解得k＝－5或k＝2.11．(15分)已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，求它的另一个根和m的值．解：因为一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，所以把x1＝1代入x2－3x＋m＝0，得1－3＋m＝0，解得m＝2.又根据根与系数的关系，得1＋x2＝3，解得x2＝3－1＝2.12．(15分)已知是方程x2－x＋m＝0的解，求一个以mx1＋1，mx2＋1为根的一元二次方程．解：结合题意与韦达定理得所以(mx1＋1)＋(mx2＋1)＝m(x1＋x2)＋2＝(－2)×1＋2＝0，(mx1＋1)(mx2＋1)＝m2x1x2＋m(x1＋x2)＋1＝(－2)2×(－2)＋(－2)×1＋1＝－9，因此，由韦达定理的逆定理可得所求的方程是x2－9＝0.
