课时分层作业(十八)空间向量的数量积(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.[解析] a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.[答案]22．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于________．[解析]设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC1＝a＋b＋c，AC12＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1|＝5.[答案]53．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．[解析]AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝＝，∴〈AB，AC〉＝60°.[答案]60°4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.【导学号：71392180】[解析]a·b＝2×3×cos60°＝3，∴|2a－3b|＝＝＝.[答案]5．如图3134,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．图3134[解析] AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC·AB＝0，BD·AB＝0.又 二面角为120°，∴〈CA，BD〉＝60°，∴CD2＝|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，∴|CD|＝2.[答案]26．如图3135，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．1图3135[解析]分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.则BF＝(－1,0,1)，ED＝(0,1，－1)，∴cos〈BF，ED〉＝＝＝－，∴〈BF，ED〉＝120°.所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.[答案]60°7．如图3136所示，已知直线AB⊥平面α，BC⊂α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．图3136[解析] AD＝AB＋BC＋CD，∠DCF＝30°，DF⊥平面α，∴∠CDF＝60°，∴|AD|2＝(AB＋BC＋CD)2＝4＋4＋4＋2×2×2×cos120°＝8，∴|AD|＝2.[答案]28．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________.【导学号：71392181】[解析]设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或[答案]或二、解答题9．如图3137，已知正方体ABCDA′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：图3137(1)AO⊥CD′；2(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明]设正方体的棱长为1，取A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B′(1,0,1)，C(1,1,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，O，则AO＝，CD′＝(－1,0,1)，AC′＝(1,1,1)，B′C＝(0,1，－1)，B′D′＝(－1,1,0)．(1) AO·CD′＝×(－1)＋1×0＋×1＝0，∴AO⊥CD′.(2) AC′·B′C＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，AC′·B′D′＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0.∴AC′⊥B′C，AC′⊥B′D′.又 B′C∩B′D′＝B′，B′C⊂平面B′CD′，B′D′⊂平面B′CD′，∴AC′⊥平面B′CD′.10.如图3138，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，图3138(1)求|EF|；(2)求cos〈AG，BC〉.【导学号：71392182】[解]如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，EF＝，AG＝，BC＝(－a,0,0)．(1)|EF|＝＝.(2)cos〈AG，BC〉＝＝＝.[能力提升练]1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．3[解析]b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值.[答案]2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．[解析]由题意可得，AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3，2)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.∴sin〈AB，AC〉＝，∴以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.[答案]73．如图3139所示，已知PA⊥平面ABC，...
