§9三角函数的简单应用课后篇巩固探究1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆频率分别是()A.B.2,C.,πD.2,π解析t=0时,θ=sin.由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆频率为.答案A2.右图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置,图中E,F,G,H四点经过半个周期后达到最高点的是()A.EB.FC.GD.H解析绳波上的点上下振动,点F经过半个周期恰好达到最高点.答案B3.商场人流量被定义为每分钟通过门口的人数,元旦某商场的人流量满足函数f(t)=50+4sin(t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是()A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]解析由2kπ-≤2kπ+(k∈Z),得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),即函数f(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z),当k=1时,增区间为[3π,5π],而[10,15]∈[3π,5π],故选C.答案C4.1如图为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则()A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=5答案A5.导学号93774036表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深情况统计:时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/m5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y=Asinωt+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为()A.4mB.5mC.6mD.7m解析由表格知函数的最大值是7,最小值是3,则满足得A=2,h=5.相邻两个最大值之间的距离T=15-3=12,即=12,则ω=,此时y=2sint+5.当t=11时,y=2sin+5=2sin+5=-2sin+5=-2×+5=4.故选A.答案A6.导学号93774037动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12s旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的递增区间是()A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]解析∵T=12,∴ω=,从而可设y关于t的函数为y=sin.又t=0时,y=,∴φ=,∴y=sin,∴当2kπ-t+≤2kπ+(k∈Z),即12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)时,函数递增.∵0≤t≤12,∴函数y的递增区间为[0,1]和[7,12].2答案D7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成时间t(单位:s)的函数,则d=,其中t∈[0,60].解析解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin.答案10sin8.如图所示,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到点A(距平衡位置最远处)开始计时.(1)求物体离开平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;(2)求该物体在t=5s时的位置.解(1)设位移x和时间t之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π),则由T==3,得ω=.当t=0时,有3sinφ=3,即sinφ=1.又0≤φ<2π,故可得φ=.从而所求的函数关系式是x=3sin,即为x=3cost.(2)令t=5,得x=3cos=-1.5,故该物体在t=5s时的位置是在点O左侧,且距点O的距离为1.5cm.9.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).求:(1)θ的取值范围;(2)f(θ)的解析式;(3)f(θ)的值域.解(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为0,.(2)如图,连接BD,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+,DB=2,∴f(θ)=2sinθ+0≤θ≤.3(3)f(θ)=2sinθ+0≤θ≤,≤θ+,∴≤sinθ+≤1,即f(θ)的值域为[1,2].4
