《3.1.1方程的根与函数的零点》导学案4学习目标1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法．学习过程1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的________．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__________．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)________0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)________0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．对点讲练求函数的零点【例1】求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.规律方法求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．判断函数在某个区间内是否有零点【例2】(1)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C.和(3，4)D．(e，＋∞)(2)f(x)＝lnx－在x>0上共有________个零点．规律方法这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2方程x2－3x＋1＝0在区间(2，3)内根的个数为()A．0B．1C．2D．不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例3】若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．变式迁移3已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．课堂小结1．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不能说明函数y＝f(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0，3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．课时作业一、选择题1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，那么下列说法中错误的是()A．函数f(x)在(1，2)或[2，3)内有零点B．函数f(x)在(3，5)内无零点C．函数f(x)在(2，5)内有零点D．函数f(x)在(2，4)内不一定有零点2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间()A．(5，6)B．(3，4)C．(2，3)D．(1，2)3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为()A．1003B．1004C．2006D．20075．若函数y＝f(x)在区间[0，4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0，4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断二、填空题6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．8．方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1，8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1，2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1，3]．10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
