第九章第五节1．(2012·上海高考)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由mx2＋ny2＝1表示椭圆可知m＞0，n＞0，且m≠n，所以mn＞0.反之由mn＞0不能得出m＞0，n＞0且m≠n.所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B.2．设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝()A.B．1C.D.解析：选C由椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)知a＝1， |AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，于是2|AB|＝4－|AB|，解得|AB|＝.故选C.3．(2014·西安测试)椭圆E的短半轴长为3，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.解析：选C由已知条件可得b＝3，a－c＝9或a＋c＝9.当a－c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，得a＋c＝1，得a＝5，c＝－4(舍去)；当a＋c＝9时，由b2＝a2－c2＝9，得a－c＝1，得a＝5，c＝4，所以e＝＝.故选C.4．若动点P、Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于()A.B.C.D.解析：选C取特殊值．令P、Q分别为椭圆的长轴、短轴的一个端点，则OP⊥OQ.由条件知椭圆方程为＋＝1，故a2＝16，b2＝9.所以a＝4，b＝3.所以OH＝＝.故选C.5．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：选A由已知得e＝＝，则c＝.又x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝＜＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．故选A.6．(2013·新课标全国高考Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B在椭圆上，得①－②，得＋＝0，所以＝－，又AB的中点为(1，－1)，所以y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝＝，所以＝.又a2－b2＝9，故a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.7．(2014·宝鸡质检)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．解析：＋＝1根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， e＝，∴＝，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，∴椭圆方程为＋＝1.8．(2014·宁波十校联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解：由MF1·MF2＝0，得以|F1F2|为直径的圆在椭圆内，于是b＞c，于是a2－c2＞c2，所以0＜e＜.，故离心率的范围为.9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：－设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，y＝b2－，所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，所以k1·k2的值为－.10．(2014·海口一中月考)B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是______．解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．令x＝－c，得y2＝，∴|PF1|＝.∴＝＝，又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得a2＝2bc，∴a4＝4b2(a2－b2)，∴(a2－2b2)2＝0，∴a2＝2b2，∴＝.所以＝＝.11．已知圆C：x2＋y2＋4x－28＝0内一点A(2,0)，点M在圆C上运动．若MA的垂直平分线交CM于一点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)在点P的轨迹上是否存在关于点N(2，－1)对称的两点？若存在，请求出对称点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P在线段AM的垂直平分线上，|CM|＝＝4，所以|MP|＝|P...
