1第一节导数的概念及运算突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝lnxf′(x)＝1x基本初等函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝1xlna3.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′的计算结果相同．()2(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．答案：－xsinx2．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.解析： f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：33．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．解析： f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4×22＋22，得f′π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx.∴fπ4＝1.答案：1[典例感悟]1．已知函数f(x)＝xex，则其导函数f′(x)＝()A.1＋xexB.1－xexC．1＋xD．1－x解析：选B函数f(x)＝xex，则其导函数f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex，故选B.2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．1C．－1D．e3解析：选C由题可得f′(x)＝2f′(1)＋1x，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选C.3．函数f(x)＝xsin2x＋π2cos2x＋π2，则其导函数f′(x)＝________.解析： f(x)＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴f′(x)＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.答案：－12sin4x－2xcos4x[方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导[针对训练]1．设f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选Bf′(x)＝2019＋lnx＋1＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，则lnx0＝0，解得x0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)⋯(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215解析：选Cf′(x)＝(x－a1)(x－a2)⋯(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·⋯·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3⋯a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二导数的几何意义4[基本知识]函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．()(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点．()答案：(1)√(2)×二、填空题1．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.解析：由题意，得f′(x)＝alnx＋a，所以f′(...
