实用标准文案文档求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：1()nnaafn----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn实用标准文案文档两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故实用标准文案文档112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan练习1.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.答案：12nn练习2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列}{na中,0na且)(21nnnanaS,求数列}{na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,实用标准文案文档又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na2)1(2nnsn,,则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于：1()nnafna----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例4已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan例5.设na是首项为1的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，⋯），则它的通项公式是na=________.实用标准文案文档解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.练习.已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.答案：na)1()!1(1an-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于1()nnaqafn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{...
