几何中的最短路线问题一、两点之间，线段最短。如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？ABMNP4ABMNP4析：连接MN，线段MN与直线AB的交点P4即为所求二、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么位置时距村庄N最近？ABMNP1P2ABMNP1P2ABMNP1P2析：分别过M、N两点向直线AB做垂线段，垂足分别是P1、P2，P1、P2即为所求。三、两点之间，线段最短与轴对称相结合一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？N’P5MNABN’P5MNAB析：过N点，做直线AB的对称点N‘，连接MN‘，线段MN’与直线AB的交点P5，P5即为所求。如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最短路线。A马厩B帐篷A’B’P1P2MNL河草地A马厩B帐篷A’B’P1P2MNL河草地A马厩B帐篷A’B’P1P2MNL河草地A马厩B帐篷A’B’P1P2MNL河草地析：过A点做关于草地MN对称点A‘，过B点做关于河L对称点B’，连接A‘B’，与草地MN交于P1，与河L交于P2，顺次连接A、P1、P2、B，即为所求。四、两点之间，线段最短与勾股定理相结合。（1）台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB=cmAB531AB5(3+1)×3=12AB531AB531AB5(3+1)×3=12AB5(3+1)×3=121312522（2）圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABABCABABC析：展开图如图所示，AB=m1312522变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。BABAA’BABAA’BABAA’析：展开图如图所示，做A点关于杯口的对称点A‘。则BA‘=厘米1512922（3）正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）（C）2（D）1ABCABABCABC21ABC215析：展开图如图所示，AB=52122（4）长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示，路线1即为所求。ABA1B1DCD1C1214ABA1B1DCD1C1214ABDCD1C1①421AC1=√42+32=√25;ABDCD1C1①421AC1=√42+32=√25;AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37;②ABB1CA1C1412ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37;AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29.AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29.AC1=√52+22=√29.析：展开图如图所示，长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。372925
