第42讲平均不等式VIP免费

实用标准文档平均不等式本节主要内容是两个、三个或n个（n∈N+）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，也就是),(2Rbaabba),,(33Rcbaabccba),...,,(......212121Raaaaaanaaannnn对于一般正整数n的平均不等式，我们将在本节的附录里给出证明．A类例题例1证明：对任意实数a>1,b>1，有81122abba分析：由对称性，容易算出当a=b=2时等号成立，此时4)1(41)1(4122aabbba证明：)1(4.12)1(4122bbabba即abba4)1(412同理baab4)1(412两同向不等式相加得81122abba，a=b=2时等号成立．说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性．链接：本题可以稍作引申：当a>1,b>1,c>1时，12111222accbba例2已知a2,⋯,an是n个正数，满足c=1求证：（2+a1）（2+a2）⋯（2+an）n3(1989年全国联赛题)分析：考虑到已知条件a1.a2⋯an=1，因此如何从（2+a1）（2+a2）⋯（2+an）过渡到能用已知条件就成关键．再注意到2+a1，2+a2等都与3比较接近，并且还有相等的可能，因此证法便自然得到．证明：1+1+a131.1.13a实用标准文档即2+a1313a同理2+a2323a⋯2+an33na将这n个同向不等式相乘得（2+a1）（2+a2）⋯（2+an）n3.nnaaa3...321，当a1=a2=an时等号成立．说明：本题证明中将2+a1拆成1+1+a1，这种恒等变形（分拆）还有形形色色的“凑”和“配”，在解题时是经常用到的．这些技巧的运用并无固定的程式和章法可套，只能根据题目的特点，因题而异．经验和洞察力要靠我们不断地实践和积累．链接：本题也可以从左边入手乘开，或将3n表为（2+1）n二项展开都可以获得成功，过程略显繁琐．例3设a>b>0，那么a2+)(1bab的最小值是_____（2005年全国高中联赛江苏赛区初赛）分析：本题取自课本的一个习题（人教社版，第二册（上）），题中有两个变量a，b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和-b之和为a，因式22)(ababbab解：2)(abab)(1bab24aa2+)(1bab4422aa，因此a2+)(1bab的最小值是4．当222ba时取得最小值．说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．链接：如果题目变为a>b>0，求a2+)(1bab的最小值，你会做吗？情景再现1.设a>b>c，证明4cbcabaca2.设X1,X2⋯XnR，求证1221322221...XXXXXXXXnnnX1+X2+⋯+Xn实用标准文档3.证明3)2(2)3(3abbaabccba，其中a，b，c∈R+B类例题例4已知abc=0，求证21444444444444444cbaccbabcbaa（2004年北京市中学生数学竞赛高一）分析：如果通分或去分母也许能行得通，但计算量太大，因此这种情况下往往考虑利用“≤”或“≥”的变形（而不是恒等变形）统一分母．证明：4a4+b4+c4=2a4+a4+b4+a4+c4≥2a4+2a2b2+2a2c2所以44444cbaa≤)(2)(2222222224cbaacbaaa同理可得44442cbab≤)(22222cbab44444cbac≤)(22222cbac三式相加得21)(2444222222444444444444cbacbacbaccbabcbaa当a2=b2=c2≠0时上式等号成立．说明：平均不等式还有一些特殊形式，从中还能推导出另外一些“副产品”，而所有这些在证题中是常常用得到的，例如：a2+b2≥2ab（a，b∈R）a+a1≥2（a∈R+）abba≥2（ab>0）A3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+）2222baba（a，b∈R）33222cbacba（a，b，c∈R）此外该题处理分母的方法给我们深刻印象，值得借鉴．例5已知a，b，c是正数且abc≤1实用标准文档试证：)(2cbabacacbcba分析：不等式的左边是分式，处理分式的原则一般是能不通分时尽量不通分，能不去分母时尽量不去分母，避开它，绕道走，减小计算量，却同样达到目的．改变结构，转换命题，使得新命题便于用已知条件，便于用平均值不等式．证明：原题等价于证明2)()()(cbabaccbaacbcbacba而)(cbacba=cbaccbacccba11)()(因而cbacbacbabaccbaacbcbacba3111)()()(2123313333abcabcabc当a=b=c=1时等号成立．说明：转换命题或加强命题是证题的一个重要手段，也是一个策略．例5与例4都是分式不等式，都用平均不等式解决问题，但途径、风格截然不同．例6设a，b，c是正实数，且满足abc＝1，证明1)11)(11)(11(acc...