2．3.2平面向量的坐标运算学习目标掌握平面向量的坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练2.3.2平面向量的坐标运算课前自主学案温故夯基1．若OA→＝a，OB→＝b，则AB→＝_________2．向量a的单位向量为_______b－a.a|a|.知新益能1．平面向量的坐标表示(1)当向量a的起点移至原点O时，其终点的坐标(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝_______(2)若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则a＝__________2．平面向量的坐标运算(x，y)．xi＋yj.(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，则a＋b＝___________________a－b＝___________________λa＝____________(2)设向量a的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则：(x1＋x2，y1＋y2)．(x1－x2，y1－y2)．(λx1，λy1)．OA→＝________，OB→＝_________，a＝AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．这说明，一个向量的坐标等于_______________________________________3．向量平行(共线)的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(a≠0)(1)如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；(2)如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.(x1，y1)(x2，y2)该向量终点的坐标减去起点的坐标．问题探究1．向量的坐标是其终点的坐标吗？提示：不一定．若OP→是以原点为始点，P点为终点的向量，其坐标为点P的坐标；由于向量具有平移性，当AB→的起点不是原点时，其坐标不是终点B的坐标．2．若AB→＝CD→，则两向量的坐标相同吗？两向量的具体位置呢？提示：若AB→＝CD→，则两向量的坐标必相同，因为相等向量的坐标相等；但两向量的具体位置不一定相同，结合相等向量的定义易知这一点．3．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．课堂互动讲练考点突破平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算规则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．例例11已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量AB→＋2BC→－12AC→的坐标．【思路点拨】由点A、B、C的坐标，求出AB→、BC→、AC→的坐标，再利用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解．【解】由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，得AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→－12AC→＝(－2,10)＋2(－8,4)－12(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)．【名师点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出相应向量的坐标，解题过程中注意正确使用运算法则．利用向量的坐标形式求点的坐标这类题目如果利用向量知识解决，一般是根据两个向量相等，则这两个向量的坐标应分别相等，当然这类题目还要注意利用图形的几何性质，分清各种可能的情况．已知A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且AD→＝2AB→－3BC→，求点D的坐标．例例22【思路点拨】解决本题的关键是正确利用“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)”．【解】设点D的坐标为(x0，y0)，则AD→＝(x0＋1，y0－2)． AB→＝(3,1)，BC→＝(1，－4)，∴2AB→－3BC→＝2(3,1)－3(1，－4)＝(6,2)＋(－3,12)＝(3,14)．又 AD→＝2AB→－3BC→，∴x0＋1＝3，y0－2＝14，即x0＝3－1＝2，y0＝2＋14＝16.∴点D的坐标为(2,16)．【名师点评】求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标，本题主要利用向量相等转化为方程组求解．自我挑战1如图所示，已知平面上三点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求D点的坐标，使得这四个点构成的四边形为平行四边形．解：如图，以AC为对角线作平行四边形AD...
